応用線形代数演習 II ( 塩田教官 )

1998 年 12 月 11 日のレポート

\underline{学生番号氏名}

【例題】関数 f(t), g(t) についての次の連立微分方程式を解け。

\{ \begin{matrix}f′(t) = g(t) \\ g′(t) = f(t) \end{matrix} ,  \{ \begin{matrix}f(0) = 0 \\ g(0) = 2 \end{matrix}

【略解】 A = ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) の固有値・固有ベクトルを求めると、

P^{−1}AP = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix} ) , P = ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 1 & −1 \end{matrix} ) ,

と対角化できる。従って一般解は、ふたつの定数 C, D を用いて

( \begin{matrix}f(t) \\ g(t) \end{matrix} ) = P ( \begin{matrix}Ce^{λt} \\ De^{μt} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}Ce^{t} + De^{−t} \\ Ce^{t} − De^{−t} \end{matrix} )

と書くことができる。定数 C, D は初期条件より求まり、

( \begin{matrix}C \\ D \end{matrix} ) = P^{−1} ( \begin{matrix}f(0) \\ g(0) \end{matrix} ) = \frac{1}{2} ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 1 & −1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}0 \\ 2 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 \\ −1 \end{matrix} ) .

【問題 1】貴方の学生番号の下 1 けたを a とする。関数 f(t), g(t) についての次の連立微分

方程式を解け。

\{ \begin{matrix}f′(t) = −(2 + a)f(t) + (2 + 2a)g(t) \\ g′(t) = −(1 + a)f(t) + (1 + 2a)g(t) \end{matrix} ,  \{ \begin{matrix}f(0) = 1 \\ g(0) = 2 \end{matrix}

【問題 2】定理 B に従って、関数 y = y(t) についての次の微分方程式を解け。

(1) \{ \begin{matrix}y′′ − y′ − 2y = 0 \\ y(0) = 2, y′(0) = 1 \end{matrix}

(2) \{ \begin{matrix}y′′ − 2y′ + y = 0 \\ y(0) = 1, y′(0) = 0 \end{matrix}