応用線形代数演習 II ( 塩田教官 )

1998 年 12 月 4 日のレポート

\underline{学生番号氏名}

【問題 1】貴方の学生番号の下 1 けたを a とする。 3 次行列 A = ( \begin{matrix}1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & a \end{matrix} ) の固有多項

式を Frame 法を用いて求めよ。

【問題 2】 3 次実対称行列 A = ( \begin{matrix}1 & 4 & 2 \\ 4 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & −2 \end{matrix} ) を直交行列によって対角化せよ。

{【ヒント】 \atop (1)} 先ず Φ_{A}(t) = (t + 3)^{2}(t − 6) であることを確認せよ。これより固有値は

−3, −3, 6 となる。

(2) 固有空間 V (−3) を計算すると V (−3) = \{( \begin{matrix}x \\ y \\ z \end{matrix} ) | 2x + 2y + z = 0\} となる。

これは平面 ( 2 次元 ) なので基底ベクトルをふたつ u_{1}, u_{2} 適当に求め、 u_{1}, u_{2} にグラム-シュミットの直交化法を実行して v_{1}, v_{2} とする。

( 実は u_{1} = ( \begin{matrix}1 \\ −2 \\ 2 \end{matrix} ) と取ると答えが奇麗になる。 )

(3) V (6) は直線なので長さ 1 の方向ベクトルを選び v_{3} とする。

(4) v_{1}, v_{2}, v_{3} を合わせて 3 次行列 P = (v_{1} v_{2} v_{3}) を作ると P が A を対角化する直交行列となる。【解答欄】