応用線形代数演習 II ( 塩田教官 )

1998 年 11 月 13 日のレポート

\underline{学生番号氏名}

【問題 1】実数係数の x の多項式のなす実ベクトル空間 V = R[x] の 2 元 f, g ∈ V に対し

て ( f, g) を次の式で定義すると、内積の 4 条件を満たしていることを確かめよ。

( f, g) := ∫_{0}^{1} f(x) g(x) dx.

1^{∘} 2^{∘} 3^{∘} 4^{∘} ( ただし、 ( f, f ) = 0 ⇒ f ≡ 0 は免除 )

【例題】 V = R[x] に ( f, g) := ∫_{0}^{1} f(x) g(x) dx で内積を定めるとき、 2 つのベクトル f(x) = 1, g(x) = x のなす角 θ を求めよ。

【略解】 || f ||^{2} = ∫_{0}^{1} f(x)^{2} dx = ∫_{0}^{1} dx = 1, || g ||^{2} = ∫_{0}^{1} g(x)^{2} dx = ∫_{0}^{1} x^{2} dx = \frac{1}{3},

( f, g) = ∫_{0}^{1} f(x) g(x) dx = ∫_{0}^{1} x dx = \frac{1}{2}. 従って cos θ = \frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1}\sqrt{\frac{1}{3}}} = \frac{\sqrt{3}}{2}, θ = \frac{π}{6} .

【問題 2】 V = R[x] に ( f, g) := ∫_{0}^{1} f(x) g(x) dx で内積を定めるとき、 2 つのベクトル f(x) = x, g(x) = x − 1 のなす角 θ を求めよ。