応用線形代数演習 II ( 塩田教官 )

1998 年 10 月 30 日のレポート

\underline{学生番号氏名}

【例題】次に挙げるユークリッド空間 R^{3} のベクトルの組に対してグラム-シュミットの直交化法を実行せよ。

u_{1} = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) , u_{2} = ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) , u_{3} = ( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} )

【略解】 k = 1 のとき、

v = u_{1}, ||v|| = \sqrt{3}, a_{1} = \frac{1}{\sqrt{3}}v = \frac{1}{\sqrt{3}} ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} )

k = 2 のとき、

v = u_{2} − ( u_{2}, a_{1} ) a_{1} = u_{2} − \frac{1}{\sqrt{3}} a_{1} = \frac{1}{3} ( \begin{matrix}2 \\ −1 \\ −1 \end{matrix} ) ,

||v|| = \frac{\sqrt{6}}{3}, a_{2} = \frac{3}{\sqrt{6}} v = \frac{1}{\sqrt{6}} ( \begin{matrix}2 \\ −1 \\ −1 \end{matrix} )

k = 3 のとき、

v = u_{3} − ( u_{3}, a_{1} ) a_{1} − ( u_{3}, a_{2} ) a_{2} = u_{3} − \frac{1}{\sqrt{3}} a_{1} − (−\frac{1}{\sqrt{6}}) a_{2} = \frac{1}{2} ( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ −1 \end{matrix} ) ,

||v|| = \frac{1}{\sqrt{2}}, a_{3} = \sqrt{2} v = \frac{1}{\sqrt{2}} ( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ −1 \end{matrix} )

【問題】次に挙げるユークリッド空間 R^{4} のベクトルの組に対してグラム-シュミットの直交化法を実行せよ。

u_{1} = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) , u_{2} = ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) , u_{3} = ( \begin{matrix}3 \\ 2 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) , u_{4} = ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} )