応用線形代数演習 II ( 塩田教官 )

1998 年 10 月 2 日のレポート

\underline{学生番号氏名}

【例題 1】 3 次元空間 R^{3} の基底 Λ を

Λ = \{a_{1} = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) , a_{2} = ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ) , a_{3} = ( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} )\}

と取るとき、ベクトル x = ( \begin{matrix}1 \\ 2 \\ 4 \end{matrix} ) の、基底 Λ に関する成分^{t}(x_{1}, x_{2}, x_{3}) を求めよ。

【略解】( \begin{matrix}1 \\ 2 \\ 4 \end{matrix} ) = x = x_{1}a_{1} + x_{2}a_{2} + x_{3}a_{3} = ( \begin{matrix}x_{1} + x_{2} \\ x_{1} + x_{3} \\ x_{2} + x_{3} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix} ) を解

けば良い。 x_{1} + x_{2} + x_{3} = \frac{7}{2} がすぐわかるので、^{t}(x_{1}, x_{2}, x_{3}) = ^{t} (−\frac{1}{2}, \frac{3}{2}, \frac{5}{2}).

【問題 1】あなたの学生番号の下一桁の数字を a とする。 3 次元空間 R^{3} の基底 Λ を

Λ = \{a_{1} = ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) , a_{2} = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) , a_{3} = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} )\}

と取るとき、ベクトル x = ( \begin{matrix}1 \\ 2 \\ a \end{matrix} ) の、基底 Λ に関する成分を求めよ。【例題 2】 2 次以下の実数係数の x の多項式の成すベクトル空間を V = R_{2}[x] と表す。 V

の基底 Λ を

Λ = { a_{1} = 1, a_{2} = x + 1, a_{3} = (x + 1)^{2} }

と取るとき、ベクトル (x + 2)^{2} の Λ に関する成分^{t}(c_{1}, c_{2}, c_{3}) を求めよ。

【略解】 (x + 2)^{2} = c_{1}a_{1} + c_{2}a_{2} + c_{3}a_{3} = c_{1} + c_{2}(x + 1) + c_{3}(x + 1)^{2} を解けば良い。先ず x = −1 を入れて c_{1} = 1. 両辺を微分して 2(x + 2) = c_{2} + 2c_{3}(x + 1). これに再び x = −1 を入れて c_{2} = 2. c_{3} = 1 は 2 次の係数を見れば明らか。

【問題 2】ベクトル空間 V = R_{2}[x] とその基底 Λ は【例題 2】のとおりとする。 V のも

うひとつの基底 Λ′ を

Λ′ = { a′_{1} = 1, a′_{2} = x + 2, a′_{3} = (x + 2)^{2} }

とするとき、 Λ から Λ′ への基底変換の行列 Q = (q_{ij})、すなわち

a′_{j} = q_{1j}a_{1} + q_{2j}a_{2} + q_{3j}a_{3} ( j = 1, 2, 3 )

を満たす 3 次行列を求めよ。 ( ヒント : 1, x + 2, (x + 2)^{2} の Λ に関する成分を計算して行と列に注意して並べよ。 )