応用線形代数演習 I ( 塩田教官 )

1998 年 7 月 10 日のレポート

\underline{学生番号氏名}

【例題 1】実係数多項式のなす実ベクトル空間 R[x] において、ベクトルの組

x + 1, x − 1, x^{2} − 1

は一次独立であることを示せ。【略解】『恒等式 c_{1}(x + 1) + c_{2}(x − 1) + c_{3}(x^{2} − 1) = 0 が成り立つとき、 c_{1} = c_{2} = c_{3} = 0

である』ことを示せば良い。

c_{1}(x + 1) + c_{2}(x − 1) + c_{3}(x^{2} − 1) = 0

に x = 1 を代入すると c_{1} × 2 = 0. 従って

c_{1} = 0 かつ c_{2}(x − 1) + c_{3}(x^{2} − 1) = 0.

更に x = −1 を代入すると c_{2} × (−2) = 0. 従って

c_{2} = 0 かつ c_{3}(x^{2} − 1) = 0.

故に c_{3} = 0. □ 【問題 1】実係数多項式のなす実ベクトル空間 R[x] において、ベクトルの組

x^{2}, (x − 1)^{2}, (x − 2)^{2}

は一次独立であることを示せ。【例題 2】実数係数の多項式の成す実ベクトル空間 R[x] において、部分集合

W := { f(x) ∈ R[x] | f(1) = 0 }

は部分空間であることを示せ。

【略解】『f(x), g(x) ∈ W, k, ℓ ∈ R とするとき、 kf + ℓ g ∈ W である』ことを示せば良

い。

f(x), g(x) ∈ W ならば f(1) = g(1) = 0 であるから、 (kf + ℓ g)(1) = kf(1) + ℓ g(1) = k 0 + ℓ 0 = 0. 従って kf + ℓ g ∈ W. □

【問題 2】実数係数の多項式の成す実ベクトル空間 R[x] において、部分集合

W := { f(x) ∈ R[x] | ∫_{0}^{1} f(x) dx = 0 }

は部分空間であることを示せ。

【問題 3】次に挙げる実ベクトル空間 R^{2} の部分集合 W はいずれも R^{2} の部分空間にならない。その理由を述べよ。

(1) W = \{( \begin{matrix}x \\ y \end{matrix} ) | xy ≧ 0\}

(2) W = \{( \begin{matrix}x \\ y \end{matrix} ) | x, y は共に有理数\}