応用線形代数演習 I ( 塩田教官 )

1998 年 6 月 19 日のレポート

\underline{学生番号氏名}

【例題】 3 次行列 A = ( \begin{matrix}1 & 0 & 2 \\ 3 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \end{matrix} ) の余因子行列を計算し、正則ならば逆行列を求めよ。

【解】 ã_{11} = + | \begin{matrix}2 & 0 \\ 1 & 3 \end{matrix} | = 6, ã_{12} = − | \begin{matrix}3 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix} | = −9, ã_{13} = + | \begin{matrix}3 & 2 \\ 0 & 1 \end{matrix} | = 3. 同様に

ã_{21} = 2, ã_{22} = 3, ã_{23} = −1, ã_{31} = −4, ã_{32} = 6, ã_{33} = 2. 従って

Ã = (ã_{ji}) = ( \begin{matrix}6 & 2 & −4 \\ −9 & 3 & 6 \\ 3 & −1 & 2 \end{matrix} )

すると AÃ = 12E ゆえ A は正則で、

A^{−1} = \frac{1}{12}Ã = ( \begin{matrix}1/2 & 1/6 & −1/3 \\ −3/4 & 1/4 & 1/2 \\ 1/4 & −1/12 & 1/6 \end{matrix} )

【問題 1】あなたの学生番号の末尾の数字を a と置くとき、 3 次行列 A = ( \begin{matrix}1 & 1 & 2 \\ a & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \end{matrix} ) の余因子行列を計算し、正則ならば逆行列を求めよ。【問題 2】クラメルの公式を用いて次の連立方程式を解け。

( \begin{matrix}1 & 1 & 3 \\ 2 & −1 & 1 \\ 2 & 1 & 4 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}x \\ y \\ z \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} )

【問題 3】 n 次正則行列 A について Ã^{−1} = (Ã)^{−1} が成り立つことを示せ。