応用線形代数演習 I ( 塩田教官 )

1998 年 5 月 29 日のレポート

\underline{学生番号氏名}

【置換の積の計算法】積の計算は定義に従って 1 から n の像を調べる（右が先）。

( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{matrix} ) .

なぜなら、 1 ↦ 2 ↦ 3, 2 ↦ 1 ↦ 2 . 1 と 2 の像がわかったので 3 の像は自動的に 1 になる。

【問題 1】次の置換の積を計算せよ。

(1) ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{matrix} ) =

(2) ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{matrix} )^{3} =

{【逆置換の計算法】 \atop (1)} 置換が ( \begin{matrix}1 & 2 & ⋯ & n \\ a_{1} & a_{2} & ⋯ & a_{n} \end{matrix} ) と表されているときは、上下の数字

を入れ替える。

( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 1 & 3 \end{matrix} )^{−1} = ( \begin{matrix}2 & 4 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 1 & 4 & 2 \end{matrix} ) .

(2) 巡回置換 ( a_{1} a_{2} ⋯ a_{n}) の逆置換は数字の順番を逆にする。

( 1 3 5 4 )^{−1} = ( 4 5 3 1 ).

(3) 互換は自分自身が逆置換 : ( i j)^{−1} = ( i j).

(4) 置換が互換の積で表されているときは、逆順で互換の積を作る。

σ = ( 1 3 )( 2 5 )( 4 6 ) ⟹ σ^{−1} = ( 4 6 )( 2 5 )( 1 3 ).

【問題 2】次の置換の逆置換を求めよ。

(1) σ = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 1 & 4 & 5 & 2 \end{matrix} )

(2) σ = (1 2 3 4) ∈ S_{4}

(3) σ = (1 2) (3 4) (1 3) ∈ S_{4} 【置換を互換の積として表す方法】σ = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 2 & 1 \end{matrix} ) を例に挙げて説明する。

(1) 左端の列のふたつの数字を入れ替える互換を左から掛けると

( 1 3 ) ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 2 & 1 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 4 & 2 & 3 \end{matrix} )

となり、 1 を動かさない置換ができる。

(2) 更に左から 2 番目の列のふたつの数字を入れ替える互換を左から掛けると

( 2 4 ) ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 4 & 2 & 3 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 4 & 3 \end{matrix} ) = ( 3 4 )

となり、 1 も 2 も動かさない置換 ( 互換 ( 3 4 ) ) ができる。

(3) 以上から ( 2 4 )( 1 3 ) σ = ( 3 4 ).

∴ σ = ( 1 3 )^{−1}( 2 4 )^{−1}( 3 4 ) = ( 1 3 )( 2 4 )( 3 4 ).

【問題 3】置換 σ = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 4 & 3 & 5 & 1 & 2 \end{matrix} ) を互換の積の形に表し、その符号を求めよ。