応用線形代数演習 I ( 塩田教官 )

1998 年 5 月 15 日のレポート

\underline{学生番号 -情氏名}

【問題 1】 3 次行列 A = ( \begin{matrix}2 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 4 \\ 0 & 3 & 2 \end{matrix} ) に対して次の行基本変形を行え。 (1) 2 行目と 3 行目を入れ替えよ。

(2) 1 行目を 2 倍せよ。

(3) 1 行目から 2 行目の 2 倍を引け。

【問題 2】 3 次行列 A = ( \begin{matrix}2 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 4 \\ 0 & 3 & 2 \end{matrix} ) に対して左から次の基本行列を掛けよ。

(1) P = ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix} )

(2) Q = ( \begin{matrix}2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} )

(3) R = ( \begin{matrix}1 & −2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} )

【例題】 A = ( \begin{matrix}1 & 2 & 2 \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & 4 & 2 \end{matrix} ) に行基本変形を施して階段行列にせよ。

{【方針】 \atop (1)} 変形 (II) または (III) を用いて 1 列目に 1 を作り出す :

( \begin{matrix}2 & 2 & 2 \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & 4 & 2 \end{matrix} ) ⟶ ( \begin{matrix}2 & 2 & 2 \\ 2 & 3 & 1 \\ \underline{1} & 2 & 0 \end{matrix} ) ( 3 行目から 1 行目を引いた )

(2) 必要なら変形 (I) を用いて (1) の 1 を 1 行目に持ってくる :

( \begin{matrix}2 & 2 & 2 \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \end{matrix} ) ⟶ ( \begin{matrix}\underline{1} & 2 & 0 \\ 2 & 3 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \end{matrix} ) ( 1 行目と 3 行目を入れ換えた )

(3) 変形 (III) を用いて 1 列目の 2 行目以下の数を 0 にする :

( \begin{matrix}1 & 2 & 0 \\ 2 & 3 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \end{matrix} ) ⟶ ( \begin{matrix}1 & 2 & 0 \\ \underline{0} & −1 & 1 \\ \underline{0} & −2 & 2 \end{matrix} ) {( 2 行目・ 3 行目からそれぞれ \atop 1 行目の 2 倍を引いた )}

(4) 以下 2 列目・ 2 行目以降についても同様の作業を行なう :

( \begin{matrix}1 & 2 & 0 \\ 0 & −1 & 1 \\ 0 & −2 & 2 \end{matrix} ) ⟶ ( \begin{matrix}1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & −1 \\ 0 & −2 & 2 \end{matrix} ) ⟶ ( \begin{matrix}1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & −1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} )

【問題 3】 A = ( \begin{matrix}0 & 1 & 2 \\ 2 & 4 & 6 \\ 2 & 3 & 4 \end{matrix} ) に行基本変形を施して階段行列にせよ。またその階数を述

べよ。