応用線形代数演習 II ( 塩田教官 ) No.25

テーマ : 3 次元ベクトルの外積

【外積の定義】 R^{3} のふたつのベクトル a = ( \begin{matrix}a \\ b \\ c \end{matrix} ) , b = ( \begin{matrix}x \\ y \\ z \end{matrix} ) に対して、その外積が

a × b := ( \begin{matrix}bz − cy \\ cx − az \\ ay − bx \end{matrix} )

によって定義される。 ( 外積は 3 次元ベクトルにしか定義されない。 ) 2 次の行列式を用いると

a × b = ( \begin{matrix}| & \begin{matrix}b & y \\ c & z \end{matrix} & | \\ | & \begin{matrix}c & z \\ a & x \end{matrix} & | \\ | & \begin{matrix}a & x \\ b & y \end{matrix} & | \end{matrix} )

と書くこともできる。また以下で

( a, b) = ax+by+cz

は a と b の標準内積を、

|| a || = \sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}

は a の長さを表す。

【例】 R^{3} の標準基底 e_{1} = ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) , e_{2} = ( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) , e_{3} = ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ) については

e_{1} × e_{2} = e_{3}, e_{2} × e_{3} = e_{1}, e_{3} × e_{1} = e_{2}
e_{2} × e_{1} = −e_{3}, e_{3} × e_{2} = −e_{1}, e_{1} × e_{3} = −e_{2}

【定理 A】外積について次の (a)〜(c) が成り立つ :

(a) a × b は a とも b とも直交する。

(b) a, b, a × b は右手系を成す。 (ただし xyz軸も右手系として取っておく。 )

(c) || a × b || = ( a と b の作る平行四辺形の面積 ).

【定理 B】逆に a, b ∈ R^{3} が与えられたとき、次の (a)〜(c) を満たすベクトル x は a と b の外積に限る :

(a) x は a とも b とも直交する。

(b) a, b, x は右手系を成す。

(c) || x || = ( a と b の作る平行四辺形の面積 ).

【定理 C】 R^{3} の 3 つのベクトル a = ( \begin{matrix}a \\ b \\ c \end{matrix} ) , b = ( \begin{matrix}x \\ y \\ z \end{matrix} ) , c = ( \begin{matrix}p \\ q \\ r \end{matrix} ) に対して

| a b c | = | \begin{matrix}a & x & p \\ b & y & q \\ c & z & r \end{matrix} | = ± ( a, b, cの作る平行 6 面体の体積)

が成り立つ。ただし符号は、 a, b, c が右手系を成すときは +、左手系を成すときは − になる。

【277】(a × b) × c ≠ a × (b × c) なる例を作れ。【278〜283】外積に関する次の命題を示せ。

{【278】 \atop (1)} a × (b + c) = a × b + a × c

(2) 実数 k に対し (k a) × b = a × (k b) = k (a × b) 【279】a + b + c = 0 ならば a × b = b × c = c × a 【280】(a × b) × (b × c) = | a b c | b 【281】( a × b , c) = ( b × c , a) = ( c × a , b) 【282】( ラグランジュの公式 ) a × (b × c) = ( a, c) b − ( a, b) c 【283】( ヤコビの恒等式 ) a × (b × c) + b × (c × a) + c × (a × b) = 0

【284】a, b, c ∈ R^{3} に対して次は同値であることを示せ。 (1) a, b, c は一次独立である。

(2) a × b, b × c, c × a は一次独立である。

【285^{∗}】6 人の人間が居るとする。このとき、次のどちらかが成り立つことを示せ。 (a) この中に、互いに面識のある 3 人組が居る。

(b) この中に、互いに全く面識のない 3 人組が居る。