応用線形代数演習 II ( 塩田教官 ) No.22

テーマ : 固有多項式の性質、対角化可能性

【定理】 m + n 次行列 A が

A = ( \begin{matrix}P & Q \\ O & S \end{matrix} ) または A = ( \begin{matrix}P & O \\ R & S \end{matrix} )

( P は m 次行列, S は n 次行列 ) の形であれば、

Φ_{A}(t) = Φ_{P} (t) Φ_{S}(t)

が成り立つ。【定理】正方行列 A に対して B = ^{t}A とすると、 Φ_{B}(t) = Φ_{A}(t) が成り立つ。従って A と

tA の固有値は一致する。【240】正方行列 A の固有ベクトルは^{t}A の固有ベクトルでもあるか ? 【命題】 A を n 次行列、 P を n 次正則行列とし B = P^{−1}AP とおくとき、次が成り立つ。

(1) Φ_{A}(t) = Φ_{B}(t) .

(2) A の固有値と B の固有値は一致する。

(3) det(A) = det(B), tr (A) = tr (B). 【241】A を n 次行列、 P を n 次正則行列とし B = P^{−1}AP とおく。 v が固有値 λ に対

する A の固有ベクトルならば、 P^{−1}v は固有値 λ に対する B の固有ベクトルであることを示せ。

【対角化可能性】 A を n 次行列とする。或る n 次正則行列 P が存在して P^{−1}AP が対角

行列となる

P^{−1}AP = ( \begin{matrix}λ_{1} \\ & . & . & . \\ & & & & λ_{n} \end{matrix} )

とき A は対角化可能である、 A は P によって対角化されるなどと言う。【242】任意のスカラー a に対して、 2 次行列 A = ( \begin{matrix}a & 0 \\ 1 & a \end{matrix} ) は対角化可能ではないこと

を示せ。【243】2 次行列 A = ( \begin{matrix}1 & a \\ 1 & a \end{matrix} ) が対角化不可能となるような a の値を全て求めよ。【244〜246】次の様な 2 次行列 A ( または A と B ) の例を挙げよ。

【244】A は対角化可能ではないが A^{2} は対角化可能である。【245】A も B も対角化可能だが A + B は対角化可能でない。【246】A も B も対角化可能だが AB は対角化可能でない。

【固有空間】 n 次行列 A の固有値 λ に対して

V (λ) := { v | v は Av = λv を満たすn 項列ベクトル}

を固有値 λ に対する A の固有空間と言う。

正確には、 A の成分と λ を含む体を K として、 V (λ) は K^{n} の部分集合と考える。すると、 V (λ) は K^{n} の部分空間になる。

【固有値の重複度】 n 次行列 A の固有値 λ に対して、固有方程式 Φ_{A}(t) = 0 における解

λ の重複度を固有値 λ の重複度と言う。【命題】正方行列 A の固有値 λ に対して

dim V (λ) ≦ λ の重複度

が成り立つ。【定理】正方行列 A が対角化可能であることと、 A の任意の固有値 λ に対して

dim V (λ) = λ の重複度

が成り立つことは同値である。【定理】正方行列 A の固有値が全て異なれば A は対角化可能である。【247〜252】次の正方行列の全ての固有値について固有空間の次元を調べよ。

\begin{matrix}【247】 & ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{matrix} ) & 【248】 & ( \begin{matrix}1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) \\ 【249】 & ( \begin{matrix}1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) & 【250】 & ( \begin{matrix}1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) \\ 【251】 & ( \begin{matrix}2 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{matrix} ) & 【252】 & ( \begin{matrix}3 & −1 & −1 & −1 \\ −1 & 3 & −1 & −1 \\ −1 & −1 & 3 & −1 \\ −1 & −1 & −1 & 3 \end{matrix} ) \end{matrix}