応用線形代数演習 II ( 塩田教官 ) No.21

テーマ : 固有値・固有ベクトルの定義と計算法

【固有値・固有ベクトルの定義】 A を n 次正方行列とする。

• スカラー λ と n 項ベクトル v が

Av = λv かつ v ≠ 0

を満たすとき、 λ を A の固有値、 v を固有値 λ に対する A の固有ベクトルと言う。

【固有多項式】 • n 次正方行列 A に対し、文字 t の n 次多項式

Φ_{A}(t) := det(tE − A)

を A の固有多項式と言う。また方程式

Φ_{A}(t) = 0

を A の固有方程式と言う。 ⋄ λ が A の固有値であることは Φ_{A}(λ) = 0 であることと同値である。

【固有値・固有ベクトルの計算方法】

(1) Φ_{A}(t) を求める。

(2) Φ_{A}(t) = 0 を解くことにより固有値 λ を求める。

(3) (λE − A)v = 0 の自明でない解として固有ベクトル v を求める。

{【注】 \atop (1)} 「代数学の基本定理」により、実行列の固有値・固有ベクトルは複素数の範囲

で求まる。

(2) 正方行列 A の任意の固有値 λ について、 λ に対する A の固有ベクトルが少なくともひとつ存在する。

【定理 A】 n 次行列 A が n 個の一次独立な固有ベクトル v_{1}, ⋯, v_{n} を持つとき、 P := ( v_{1} ⋯ v_{n}) は正則行列であって、

P^{−1}AP = ( \begin{matrix}λ_{1} \\ & . & . & . \\ & & & & λ_{n} \end{matrix} ) ( λ_{j} は v_{j} に対する固有値 )

が成り立つ。このとき A は対角化可能である、 A は P によって対角化されるなどと言い、 A^{k} は次のように簡単に表される :

A^{k} = P ( \begin{matrix}λ_{1}^{k} \\ & . & . & . \\ & & & & λ_{n}^{k} \end{matrix} ) P^{−1}

【222〜224】次の実数係数の行列の固有値・固有ベクトルを求めよ。 (複素数を必要とするものもある。 )

【222】( \begin{matrix}3 & 1 & −1 \\ 2 & 2 & −1 \\ 4 & 2 & −1 \end{matrix} )  【223】( \begin{matrix}0 & 2 & 0 \\ −2 & 1 & 2 \\ −2 & 2 & 2 \end{matrix} )  【224】( \begin{matrix}0 & 1 & 1 \\ −1 & 0 & 1 \\ −1 & −1 & 0 \end{matrix} )

【225〜227】次の 4 次行列の固有多項式を求めよ。

【225】( \begin{matrix}1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & −1 & 1 & −1 \\ 1 & 1 & −1 & −1 \\ 1 & −1 & −1 & 1 \end{matrix} ) 【226】( \begin{matrix}0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ −d & −c & −b & −a \end{matrix} ) 【227】( \begin{matrix}2 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{matrix} )

【定理 B】 A を n 次行列とする。 (1) Φ_{A}(t) = t^{n} − tr (A) t^{n−1} + ⋯ + (−1)^{n} det(A) が成り立つ。

(2) A の n 個の固有値 ( すなわち Φ_{A}(t) の n 個の根 ) を重複度を込めて λ_{1}, ⋯, λ_{n}

とするとき、次が成り立つ。 (i) tr (A) = λ_{1} + ⋯ + λ_{n} (ii) det(A) = λ_{1} ⋯ λ_{n}

【定理 C】上三角行列や下三角行列、対角行列の固有値は対角成分と一致する。

【228〜231】正方行列 A について次を示せ。【228】det(A) = 0 ⟺ 「 0 は A の固有値」【229】「A が正則」 ⟺ 「A の任意の固有値 ≠ 0」【230】λ が A の固有値ならば λ^{2} は A^{2} の固有値である。【231】「或る自然数 k について A^{k} = O」 ⟹ 「A の任意の固有値 = 0」

【232〜239】 A を正方行列とする。次の命題が正しければ証明し、正しくなければ反例を

挙げよ。【232】A の成分が全て正の実数ならば A の固有値も全て正である。【233】A の成分が全て整数ならば A の固有値も全て整数である。【234】A の対角成分が全て 0 ならば、 A の任意の固有値 λ に対して −λ も A の固有

値である。【235】A の固有ベクトルは A^{2} の固有ベクトルでもある。【236】A^{2} の固有ベクトルは A の固有ベクトルでもある。【237】A^{2} = E が成り立てば A の固有値は 1 または −1 である。【238】A^{2} = A が成り立てば A の固有値は 1 または 0 である。【239】A の任意の固有値が 0 または 1 であれば A^{2} = A が成り立つ。