応用線形代数演習 II ( 塩田教官 ) No.20

テーマ : 計量ベクトル空間

【計量ベクトル空間】 • 実ベクトル空間 V の各 2 元 u, v に対して実数 ( u, v) が定義されていて次の 4 条件を満たすとき、 ( , ) を V の内積と言い、 ( V, ( , ) )、または単に V を計量ベクトル空間 ( 実計量ベクトル空間 ) と言う。

1^{∘} ( u, v) = ( v, u)

2^{∘} ( k u, v) = k ( u, v) ( k ∈ R ) 3^{∘} ( u + u′, v) = ( u, v) + ( u′, v) 4^{∘} ( u, u) ≧ 0 ( 等号は u = 0 のときのみ成立 )

• R^{n} に標準内積を考えた計量ベクトル空間を特にユークリッド空間と言う。 ⋄ 計量ベクトル空間でも、ユークリッド空間と同様にノルム・角度・直交系・正規

直交系・正規直交基底が考えられ、シュミットの直交化法も No.18 のプリントと全く同じ式で使える :

• u ∈ V に対し || u || = \sqrt{( u, u)} を u の長さ、または u のノルムと言う。

• u, v ∈ V ( u, v ≠ 0 ) に対し cos θ = \frac{( u, v)}{|| u || · || v ||} で決まる角度 θ を u と v の

なす角と言う。 ( シュヴァルツの不等式 ( 後述 ) により右辺は絶対値 1 以下の実数になる。 )

• ( u, v) = 0 のとき u と v は直交すると言う。 ⋄ V の一次独立なベクトルの組 { u_{1}, ⋯, u_{m} } が与えられたとき、次のアルゴリズ

ムで正規直交系 { a_{1}, ⋯, a_{m} } を得る:

for k := 1 to m do

begin v:=u_{k} − ∑_{j=1}^{k−1} ( u_{k}, a_{j} ) a_{j}; a_{k}:=\frac{1}{|| v ||} v end;

特に { u_{1}, ⋯, u_{n} } が V の基底ならば { a_{1}, ⋯, a_{n} } は V の正規直交基底になる。

【定理 A】 ( V, ( , ) ) を実計量ベクトル空間、 u, v ∈ V, k, ℓ ∈ R とするとき次が成り立つ。

(1) || k u + ℓ v ||^{2} = k^{2} || u ||^{2} + 2kℓ ( u, v) + ℓ^{2} || v ||^{2}

(2) ( u, v) = \frac{1}{2}\{ || u + v ||^{2} − || u ||^{2} − || v ||^{2}\}

(3) | ( u, v) | ≦ || u || · || v || ( シュヴァルツの不等式 )

(4) ||u + v|| ≦ || u || + || v || ( 三角不等式 )

【定理 B】 ( V, ( , ) ) を n 次元の実計量ベクトル空間、 Λ = { a_{1}, a_{2}, ⋯, a_{n} } を V の正規直交基底とする。このとき x, y ∈ V の Λ に関する成分を^{t}(x_{1}, x_{2}, ⋯, x_{n}), t (y_{1}, y_{2}, ⋯, y_{n}) とすれば、

( x, y) = x_{1}y_{1} + x_{2}y_{2} + ⋯ + x_{n}y_{n},

|| x || = \sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + ⋯ + x_{n}^{2}}

が成り立つ。

【208〜210】 x = ( \begin{matrix}a \\ b \end{matrix} ) , y = ( \begin{matrix}c \\ d \end{matrix} ) ∈ R^{2} に対して ( x, y) を次の式で定義すると内積の

条件を満たしていることを確かめよ。【208】( x, y) := ac + 2bd 【209】 ( x, y) := 2ac + ad + bc + 2bd 【210】( x, y) := 3ac − ad − bc + 2bd

【211〜214】 x = ( \begin{matrix}a \\ b \end{matrix} ) , y = ( \begin{matrix}c \\ d \end{matrix} ) ∈ R^{2} に対して ( x, y) を次の式で定義しても R^{2} の

内積とはならない。その理由を述べよ。【211】( x, y) := ac − bd 【212】 ( x, y) := a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2} 【213】( x, y) := ac + 2ad + 3bc + 4bd 【214】 ( x, y) := ac + ad + bc + bd

【215〜216】実数係数の 2 次以下の x の多項式のなす実ベクトル空間 V = R_{2}[x] の 2 元 f, g ∈ V に対して ( f, g) を次の式で定義すると内積の条件を満たしていることを確かめよ。

【215】( f, g) := ∫_{0}^{1} f(x) g(x) x^{2} dx 【216】( f, g) := f(0) g(0) + f(1) g(1) + f(2) g(2)

【217〜218】 V = R_{2}[x] の 2 元 f, g ∈ V に対して ( f, g) を次の式で定義しても V の内積とはならない。その理由を述べよ。

【217】( f, g) := ∫_{−1}^{1} f(x) g(−x) dx 【218】( f, g) := f(0) g(0) + f(1) g(1)

【219】実数係数 n 次正方行列全体の集合 M_{n}(R) において ( A, B) := tr (^{t}AB) は内積の条件を満たすことを確かめよ。

【220〜221】 V = R_{2}[x] の 2 元 f, g ∈ V に対して ( f, g) := ∫_{0}^{1} f(x) g(x) dx によって内積を定義するとき、次で与えられる V の基底 Λ に対してグラム-シュミットの直交化法を実行せよ。

【220】 Λ = { 1, x, x^{2} } 【221】 Λ = { x^{2}, x, 1 }

【注意】レポート問題 2, 3 の様に、連続関数に対しては積分を用いて内積 ( , ) を定義す

ることができる。すると

2 関数 f(x), g(x) 間の距離= || f − g ||

と定めることができ、関数に対して近い・遠いといった議論を定量的に展開することができる。