応用線形代数演習 II ( 塩田教官 ) No.19

テーマ : 直交行列、回転の行列、直交群の生成系

【直交行列】^{t}AA = E を満たす n 次\underline{実}行列 A を n 次直交行列と言い、

O(n) := { A | A は n 次直交行列}, SO(n) := { A ∈ O(n) | det A = 1 } をそれぞれ n 次直交群、 n 次回転群と呼ぶ。

【命題】 A ∈ O(n) ならば det A = ±1 である。【198】O(1) = {±1}, SO(1) = {1} であることを示せ。【199】A ∈ O(n) ならば A^{2} ∈ SO(n) であることを示せ。【定理】 n 次実行列 A に対して次は同値である。

(1) A は直交行列である。

(2) A の n 個の列ベクトルは R^{n} の正規直交基底である。

(3) A の n 個の行ベクトルを転置して得られる列ベクトルは R^{n} の正規直交基底で

ある。【200】A が 2 次直交行列ならば、或る実数 θ が存在して

A = ( \begin{matrix}cos θ & − sin θ \\ sin θ & cos θ \end{matrix} ) または A = ( \begin{matrix}cos θ & sin θ \\ sin θ & − cos θ \end{matrix} )

と書けることを示せ。【201】A^{2} ∈ O(2) だが A ∉ O(2) であるような 2 次実行列 A をひとつ作れ。

【202】a_{1} = ( \begin{matrix}1/3 \\ 2/3 \\ 2/3 \end{matrix} ) を第 1 列ベクトルに持つ様な 3 次直交行列 A = ( a_{1} a_{2} a_{3} ) をひとつ求めよ。

( ヒント : u_{1} = a_{1}, u_{2} = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ), u_{3} = ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) として、 R^{3} の基底 \{u_{1}, u_{2}, u_{3}\} から

グラム-シュミットの直交化法を用いて正規直交基底 {a_{1}, a_{2}, a_{3}} を計算すれば良い。 ) 【203】実数 a, b, c, d が a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2} = 1 を満たせば 4 次行列

A = ( \begin{matrix}a & b & c & d \\ b & −a & d & −c \\ c & −d & −a & b \\ d & c & −b & −a \end{matrix} ) は直交行列であることを示せ。

【204】A が n 次実交代行列 ( ^{t}A = −A ) で、 E − A が正則ならば

X = (E + A)(E − A)^{−1} は直交行列であることを示せ。【205】n 次実行列 A に対して次を示せ。

(1) 「任意の x, y ∈ R^{n} に対して^{t}xAy = 0 」 ⟹ A = O

(2) 「任意の x, y ∈ R^{n} に対して^{t}xAy = ^{t}xy 」 ⟹ A = E 【206】n 次実行列 A に対して次は同値であることを示せ。

(1) A は直交行列である。

(2) 行列 A の定める線形写像 f : R^{n} → R^{n}; f(x) := Ax について

|| f(x) || = || x || ( ∀ x ∈ R^{n} )

が成り立つ。

【定理】任意の SO(n) の元は、幾つかの回転の行列

( \begin{matrix}. & . & . \\ & & & cos θ & & & & − sin θ \\ & & & & . & . & . \\ & & & sin θ & & & & cos θ \\ & & & & & & & & . & . & . \end{matrix} )  ( 他の成分は単位行列と一緒 )

の積として書くことができる。【定理】任意の直交行列は、幾つかの回転の行列と、座標軸に関する対称変換の行列

( \begin{matrix}±1 \\ & . & . & . \\ & & & & ±1 \end{matrix} )

の積として書くことができる。【定理】任意の実対称行列 A は適切な直交行列 P を用いて P^{−1}AP が対角行列になるよ

うにできる :

P^{−1}AP = ( \begin{matrix}λ_{1} \\ & . & . & . \\ & & & & λ_{n} \end{matrix} )

すなわち、実対称行列で表される線形写像は、適当に座標軸を回転させると「各座標軸方向への拡大・縮小」を組み合わせたものになる。

【207】実対称行列 A = ( \begin{matrix}4 & \sqrt{3} \\ \sqrt{3} & 2 \end{matrix} ) に対して P^{−1}AP が対角行列になるような直交行列 P を求めよ。