応用線形代数演習 II ( 塩田教官 ) No.17

テーマ : ベクトル空間の直和、次元公式

【定理】 (m, n) 行列 A の定める線形写像 f_{A} : K^{n} ⟶ K^{m} について

dim(Im(f_{A})) = rank(A)

が成り立つ。

【定理】線形写像 f : V → W に関する線形的不変量は全て表現行列 A を用いて計算で

きる。例えば

dim(Im(f)) = rank(A), dim(Ker(f)) = dim(V) − rank(A) etc. ( A を定める基底は任意で良い。 )

【直和】 V と W を 2 つのベクトル空間とする。

• V のベクトル a ∈ V と W のベクトル b ∈ W の形式的な組 (a, b) 全体の集合を

V ⊕ W = { (a, b) | a ∈ V, b ∈ W } と表し、これを V と W の直和と言う。 V ⊕ W には和とスカラー倍が (a, b) + (a′, b′) = (a + a′, b + b′), k(a, b) = (ka, kb)

によって定義される。 ⋄ V, W は

V ∋ a ⟼ (a, 0) ∈ V ⊕ W
W ∋ b ⟼ (0, b) ∈ V ⊕ W

によって V ⊕ W に埋め込むことができ、この意味で V と W の基底を合わせたものが V ⊕ W の基底になる。特に

dim(V ⊕ W) = dim V + dim W

が成り立つ。

【定理】 U, W を共にベクトル空間 V の部分空間とするとき、

dim(U ∩ W) + dim(U + W) = dim U + dim W

が成り立つ。

【もうひとつの直和】 U, W を共にベクトル空間 V の部分空間とし、

U ∩ W = {0}

が成り立つとき、和空間 Z = U + W は U と W の直和であると言い、 Z = U ⊕ W と書き表す。 ( U ∩ W = {0} のときは U + W は上の意味の U ⊕ W と同型になるので、あえて同じ記号を使っている。 )

【184】実数上の実数値関数全体の成すベクトル空間 V において、偶関数全体の成す部分空間を U、奇関数全体の成す部分空間を W とおく。 ( f(−x) = f(x), ∀x ∈ R を満たす関数を偶関数、 f(−x) = −f(x), ∀x ∈ R を満たす関数を奇関数と言う。 ) このとき、 V = U ⊕ W であることを示せ。

【185】実数成分の n 次正方行列全体の集合を M_{n}(R)、 n 次対称行列全体の集合を U、 n 次交代行列全体の集合を W とおく。 M_{n}(R) は行列としての和とスカラー倍によって実ベクトル空間を成し、 U, W はその部分空間となる。このとき、 M_{n}(R) = U ⊕ W であることを示せ。

【186〜188】ベクトル空間 V のふたつの部分空間 U, W について次の条件を考える。

(a) U + W は直和である。

(b) dim(U + W) = dim(U) + dim(W) .

(c) 任意の u ∈ U ( u ≠ 0 ) と任意の w ∈ W ( w ≠ 0 ) に対して、ベクトルの組 u, w は一次独立である。

(d) u, u′ ∈ U, w, w′ ∈ W に対して、

「u + w = u′ + w′ ⟹ u = u′ かつ w = w′ 」

が成り立つ。

このとき次の同値性を示せ。

【186】(a) ⟺ (b)  【187】 (a) ⟺ (c)  【188】 (a) ⟺ (d)

【定理】体 K 上の有限次元ベクトル空間 V が、ふたつの部分空間 V_{1}, V_{2} の直和で

( V = V_{1} ⊕ V_{2} )、線形変換 f : V → V が

f(V_{1}) ⊆ V_{1}, f(V_{2}) ⊆ V_{2}

を満たすとする。このとき、 Λ_{1}, Λ_{2} を V_{1}, V_{2} の基底として、 V の基底 Λ = Λ_{1} ∪ Λ_{2} に関する f の表現行列を A と置けば、 A は

A = ( \begin{matrix}A_{1} & O \\ O & A_{2} \end{matrix} ) ( A_{1} は f |_{V_{1}} の、 A_{2} は f |_{V_{2}} の表現行列 )

という形になる。

【189】M_{2}(R), U, W は【185】のとおりとする。

(1) Λ = \{( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} )\} は U の基底、 Γ = \{( \begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix} )\} は

W の基底であることを示せ。

(2) 線形変換

f : M_{2}(R) → M_{2}(R), X ↦ ( \begin{matrix}1 & 2 \\ 1 & 1 \end{matrix} ) X ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 2 & 1 \end{matrix} )

は f(U) ⊆ U, f(W) ⊆ W を満たすことを示し、その基底 Λ ∪ Γ に関する表現行列 A を求めよ。