応用線形代数演習 II ( 塩田教官 ) No.16

テーマ : 線形写像の核と像、同型写像、同型なベクトル空間

【部分空間】 V を K 上のベクトル空間、 W を V の部分集合とする。 W がそれ自体、和

とスカラー倍で閉じているとき、すなわち

∀ x, y ∈ V と ∀ k, ℓ ∈ K に対して k x + ℓ y ∈ V

がなりたつとき、 W は V の部分空間であると言った。 ( No.12 )

【定理】 U, W を共に K 上のベクトル空間 V の部分空間とするとき、次が成り立つ。 (1) U ∩ W も V の部分空間である。

(2) U と W の元の和として表せるベクトル全体の集合を

U + W = { x + y | x ∈ U, y ∈ W } という記号で表すとき、 U + W は V の部分空間になる。 ( U と V の和空間 )

【線形写像の核と像】線形写像 f : V → W に対して • V の部分空間 Ker(f) = { v ∈ V | f(v) = 0 } を f の核 ( カーネル ) と言う。

• W の部分空間 Im(f) = { f(v) | v ∈ V } を f の像 ( イメージ ) と言う。

【定理】線形写像 f : V → W が単射であることと Ker(f) = { 0 } であることは同値である。

【定理】 f : V → W が線形写像ならば、 dim V = dim(Ker(f)) + dim(Im(f)) が成り立つ。

【定理】 f : V → W を線形写像とし、 Λ = { v_{1}, v_{2}, ⋯, v_{p} } を V のベクトルの組とする。 W のベクトルの組 Γ を Γ = { f(v_{1}), f(v_{2}), ⋯, f(v_{p}) } と置くとき、次が成り立つ。 (1) f が単射で Λ が一次独立ならば、 Γ も一次独立である。

(2) f が全射で Λ が V の生成系ならば、 Γ は W の生成系である。

{【同型写像・同型】 \atop •} 線形写像 f : V → W は、全単射でもあるとき同型写像と言う。

• V と W は、或る同型写像 f : V → W が存在するとき同型であると言い、 V ≅ W と書き表す。

【169 (例)】ベクトル空間 V の恒等変換 f = 1_{V} : V → V ( f(x) = x ) は同型写像であることを示せ。

【170 (例)】 A を n 次正則行列とするとき、 A によって定義される線形変換 f_{A} : K^{n} → K^{n} ( f_{A}(x) = A x ) は同型写像であることを示せ。【例】 V を体 K 上の n 次元ベクトル空間、 Λ をその基底とするとき、 x ∈ V に対してそ

の基底 Λ に関する成分を対応させる写像

f : x ↦ ^{t}(x_{1}, x_{2}, ⋯, x_{n})

は V から K^{n} への同型写像である。

{【定理】 \atop (1)} f : V → W がベクトル空間の同型写像で、 Λ = \{ v_{1}, v_{2}, ⋯, v_{p} \} が V の基

底ならば、 Γ = { f(v_{1}), f(v_{2}), ⋯, f(v_{p}) } は W の基底である。 (2) V ≅ W ならば dim V = dim W である。

(3) 逆に、 dim V = dim W < ∞ ならば V ≅ W である。

【171 (定理)】 f : V → W がベクトル空間の同型写像ならば、その逆写像 f^{−1} : W → V も同型写像であることを示せ。

【172 (定理)】 f : V → W, g : W → Z が共にベクトル空間の同型写像ならば、その合成写像 g ∘ f : V → Z も同型写像であることを示せ。

【173 (定理)】ベクトル空間について「同型である」という関係は同値関係であることを示せ。

【174〜176】次に挙げる 3 次行列 A から定義される R^{3} の線形変換

f_{A} : R^{3} → R^{3}, f_{A}(x) = A x

について、 Ker(f_{A}), Im(f_{A}) の表す図形の方程式を求め、また dim(Ker(f_{A})), dim(Im(f_{A})) を計算せよ。

【174】( \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 3 & 3 & 3 \end{matrix} )  【175】( \begin{matrix}0 & 1 & 1 \\ −1 & 0 & 1 \\ −1 & −1 & 0 \end{matrix} )  【176】( \begin{matrix}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{matrix} )

【177〜182】実数係数の x の 3 次以下の多項式の成すベクトル空間を V = R_{3}[x] とする。このとき次の線形変換 F : R_{3}[x] → R_{3}[x] について Ker(F)), Im(F) を具体的に記述し、また dim(Ker(F)), dim(Im(F)) を答えよ。

\begin{matrix}【177】 & F (f(x)) = f(−x) & 【178】 & F (f(x)) = f′(x) \\ 【179】 & F (f(x)) = f(x − 1) & 【180】 & F (f(x)) = f(x) − f(0) \\ 【181】 & F (f(x)) = f(x) + f(−x) & 【182】 & F (f(x)) = f(x) − f′(x) \end{matrix}

【183】線形変換 f : V → V, v ∈ V と自然数 p が、

f^{p} = O, f^{p−1} ≠ O, f^{p−1}(v) ≠ 0

を満たすとする。但し、 O は零写像、 f^{q} = f ∘ f ∘ ⋯ ∘ f は f の q 回合成写像とする。このとき、 v, f(v), ⋯, f^{p−1}(v) は一次独立であることを示せ。