応用線形代数演習 II ( 塩田教官 ) No.15

テーマ : 線形写像とその表現行列

【行列の定める線形写像】 • 体 K 上の (m, n) 行列 A を用いて写像

f_{A} : K^{n} ⟶ K^{m}; f_{A}(x) := Ax ( x ∈ K^{n} )

定義することができる。これを行列 A の定める線形写像と言う。 ⋄ f_{A} は次の性質を持つ:

(1) ∀ x, y ∈ K^{n} に対して f_{A}(x + y) = f_{A}(x) + f_{A}(y)

(2) ∀ x ∈ K^{n} と ∀ k ∈ K に対して f_{A}(k x) = k f_{A}(x)

【一般のベクトル空間の線形写像】• K 上のベクトル空間 V, W の間の写像 f : V → W は、次の 2 条件を満たすとき線形写像であると言う。

(1) ∀ x, y ∈ V に対して f(x + y) = f(x) + f(y)

(2) ∀ x ∈ V と ∀ k ∈ K に対して f(k x) = k f(x)

• W = V のときの線形写像 f : V → V を特に線形変換とも言う。

【定理】 f : V → W が線形写像であることは次の条件と同値である。

∀ x, y ∈ V と ∀ k, ℓ ∈ K に対して f(k x + ℓ y) = k f(x) + ℓ f(y) ( 「線形写像であること」を証明するとき、「(1) かつ (2)」を証明するよりこの条件を使う方が式が少なくて良い。 )

【定理】 V, W, Z を体 K 上のベクトル空間、 f : V → W, g : W → Z を共に線形写像とすると、その合成写像 g ∘ f : V → Z も線形写像である。

【157〜158】ふたつの写像 f : V → W , g : W → Z について、次の主張の真偽を述べよ。【157】合成写像 g ∘ f が線形写像ならば、 f, g は共に線形写像である。【158】f, g がどちらも線形写像でなければ、 g ∘ f も線形写像ではない。

【線形写像の表現行列】 • V, W をそれぞれ体 K 上の n 次元及び m 次元のベクトル空

間、 f : V → W を線形写像とする。

Λ = { v_{1}, ⋯, v_{n} }, Γ = { w_{1}, ⋯, w_{m} }

をそれぞれ V, W の基底とするとき、

f(v_{j}) = a_{1j}w_{1} + ⋯ + a_{mj}w_{m} ( j = 1, ⋯, n )

によって K 成分の (m, n) 行列 A = (a_{ij}) が定まる。これを基底 Λ, Γ に関する f の表現行列と言う。 ( f : V → V が線形変換のときは Γ は Λ と等しく取る。 )

⋄ x ∈ V に対し、 x の基底 Λ に関する成分を^{t}(x_{1}, x_{2}, ⋯, x_{n})、 f(x) ∈ W の基

底 Γ に関する成分を^{t}(y_{1}, y_{2}, ⋯, y_{m}) とすれば、( y_{1} ; ⋮ ; y_{m} ) = A ( x_{1} ; ⋮ ; x_{n} ) が成

り立つ。

{【例】 \atop (1)} V は n 次元、 W は m 次元のベクトル空間で f : V ⟶ W が零写像のとき、

( 基底 Λ, Γ の取り方にかかわらず ) A = O_{m,n}.

(2) V が n 次元ベクトル空間、 f = 1_{V} : V ⟶ V が恒等変換のとき、任意の基底 Λ に関して A = E_{n}.

【定理】\{ \begin{matrix}V, W, Z をそれぞれ体K 上の有限次元ベクトル空間、 \\ Λ, Γ, Δ をそれぞれV, W, Z の基底、 \\ 線形写像f : V → W の Λ, Γ に関する表現行列をA、 \\ 線形写像g : W → Z の Γ, Δ に関する表現行列をB \end{matrix}

とする。このとき、合成写像 g ∘ f : V → Z の Λ, Δ に関する表現行列は BA である。

【注】本当は、線形写像を表現する為に行列が発明され、行列の積は、上の定理が成り立つように定義されたのである。

【159〜164】実数係数の x の 3 次以下の多項式の成すベクトル空間 V = R_{3}[x] において、基底 Λ をΛ = { x^{3}, x^{2}, x, 1 } と取る。このとき次の線形変換 F : R_{3}[x] → R_{3}[x] についてΛ に関する F の表現行列 A を求めよ。

\begin{matrix}【159】 & F (f(x)) = f(−x) & 【160】 & F (f(x)) = f′(x) \\ 【161】 & F (f(x)) = f(x − 1) & 【162】 & F (f(x)) = f(x) − f(0) \\ 【163】 & F (f(x)) = f(x) + f(−x) & 【164】 & F (f(x)) = f(x) − f′(x) \end{matrix}

【165〜168】実数成分の 2 次行列のなすベクトル空間

V = M(2; R) = \{ X = ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) | a, b, c, d ∈ R \}

の基底を

Λ = \{P = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) , Q = ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) , R = ( \begin{matrix}0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) , S = ( \begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} )\}

と取る。このとき次の線形変換 f : M(2; R) ⟶ M(2; R) の基底 Λ に関する表現行列 A を求めよ。

\begin{matrix}【165】 & f(X) = −X & 【166】 & f(X) = ^{t}X \\ 【167】 & f(X) = \frac{1}{2}(X − ^{t}X) & 【168】 & f(X) = ( \begin{matrix}1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix} ) X \end{matrix}