応用線形代数演習 I ( 塩田教官 ) No.13

テーマ : ベクトル空間の基底と次元

本プリントでは V は体 K 上のベクトル空間を表す。

【基底】 a_{1}, a_{2}, ⋯, a_{n} ∈ V とする。

• V = ⟨ a_{1}, a_{2}, ⋯, a_{n} ⟩ が成り立つとき、 a_{1}, a_{2}, ⋯, a_{n} は V の生成系である、或

いは a_{1}, a_{2}, ⋯, a_{n} は V を生成すると言う。

• 次の 2 条件が成り立つとき、 a_{1}, a_{2}, ⋯, a_{n} は V の基底 ( きてい ) であると言う:

(a) a_{1}, a_{2}, ⋯, a_{n} は V の生成系、すなわち V = ⟨ a_{1}, a_{2}, ⋯, a_{n} ⟩
(b) a_{1}, a_{2}, ⋯, a_{n} は一次独立

【定理 A】 a_{1}, a_{2}, ⋯, a_{n} が V の基底ならば、 ∀ x ∈ V に対して

x = x_{1}a_{1} + ⋯ + x_{n}a_{n} を満たすスカラーの組 (x_{1}, ⋯, x_{n}) が唯一通り定まり、これによって V に座標を入れることができる。

【定理 B】ふたとおりのベクトルの組 a_{1}, a_{2}, ⋯, a_{n} および b_{1}, b_{2}, ⋯, b_{m} が共に V の基底ならば n = m が成り立つ。

【次元】 • V が有限個のベクトルからなる基底 a_{1}, a_{2}, ⋯, a_{n} を持つとき、その個数 n

を V の次元と言い、 dim V = n と表す。

• V = { 0 } のとき次元は 0 と定める。

• 有限個のベクトルからなる基底が存在しないとき V は無限次元であると言い、 dim V = ∞ 表す。

【例】 K^{n} の標準基底 e_{1} = ( 1 0 ⋮ 0 ), e_{2} = ( 0 1 ⋮ 0 ), ⋯, e_{n} = ( 0 0 ⋮ 1 ) は K^{n} の基底で、

dim K^{n} = n .

【例】 n 次以下の x の多項式のなすベクトル空間 K_{n}[x] において、

1, x, x^{2}, ⋯, x^{n}

は基底であり、従って dim K_{n}[x] = n + 1 .

【定理 C】 a_{1}, a_{2}, ⋯, a_{k} ∈ V が一次独立ならばこれらを含む V の基底が存在する。

【定理 D】 V = ⟨ a_{1}, a_{2}, ⋯, a_{k} ⟩ ならばa_{1}, a_{2}, ⋯, a_{k} の中から V の基底が取れる。【定理 E】 dim V = n がわかっているとき、 a_{1}, a_{2}, ⋯, a_{n} ∈ V が一次独立ならばa_{1}, a_{2}, ⋯, a_{n}

は V の基底になる。

【定理 F】 W が V の部分空間ならば、 (1) dim W ≦ dim V

(2) dim W = dim V ならば W = V

{【基底の探し方その 1】 \atop (1)} 0 でないベクトルをひとつ取り a_{1} とする。 (2) V ≠ ⟨ a_{1} ⟩ ならば a_{2} ∉ ⟨ a_{1} ⟩ をみたす a_{2} を取る。

(3) 以下、 V ≠ ⟨ a_{1}, ⋯, a_{k} ⟩ なる限り a_{k+1} ∉ ⟨ a_{1}, ⋯, a_{k} ⟩ をみたす a_{k+1} を取ってゆく。

【基底の探し方その 2】 V の生成系 a_{1}, a_{2}, ⋯, a_{k} が先に求まっているとする。 (1) a_{1}, a_{2}, ⋯, a_{k} が一次独立ならそのまま基底になっている。

(2) a_{1}, a_{2}, ⋯, a_{k} が一次従属ならば

a_{j} ∈ ⟨ a_{1}, ⋯, a_{j−1}, a_{j+1}, ⋯, a_{k} ⟩

となる番号 j を探して a_{j} を除去する。

(3) 以下、ベクトルの組が一次従属である限り同じ作業を続ける。

【一次独立性の判定法の工夫】 V の基底 a_{1}, a_{2}, ⋯, a_{n} が先に与えられているとき、 b_{1}, b_{2}, ⋯, b_{m} の一次独立性は次のように判定できる。

(1) m > n ならばいつでも一次従属。

(2) 各 j = 1, ⋯, m に対して

b_{j} = p_{1j}a_{1} + ⋯ + p_{nj}a_{n}

を満たすスカラー p_{ij} を求めて (n, m) 行列 P = (p_{ij}) を作る。

(3) m = rank(P) ならば一次独立、そうでなければ一次従属。

【139】x の多項式 f(x), g(x), h(x) を f(x) = 1, g(x) = x, h(x) = \frac{1}{2}x(x − 1) とすると { f(x), g(x), h(x) } は R_{2}[x] の基底となることを示せ。

【140】2 次以下の実数係数多項式 p(x) について次の 2 条件は同値であることを示せ。 (a) 任意の整数 n について p(n) は整数である。

(b) p(0), p(1), p(2) はすべて整数である。 ( 前問がヒント )

【141】3 次以下の実数係数多項式 f(x) で 1 と 2 を共に根にもつものの成す実ベクトル空間 V の基底と次元を求めよ。