応用線形代数演習 I ( 塩田教官 ) No.11

テーマ : 小行列式と階数と一次独立性の関係、連立一次方程式の解空間

【小行列式】行列 A から s 個の行の s 個の列を取り出して作った s 次行列を A の s 次小行列、またその行列式を A の s 次小行列式と言う。

【定理 A】行列 A に対して次の数は全て等しい。 (1) rank(A)

(2) A の s 次小行列式のうち 0 でないものが存在する様な最大の s

(3) A の一次独立な列ベクトルの最大個数

(4) A の一次独立な行ベクトルの最大個数

【系 B】 a_{1}, a_{2}, ⋯, a_{k} ∈ R^{n} に対して次は同値。 (1) a_{1}, a_{2}, ⋯, a_{k} は一次独立。

(2) A = (a_{1} a_{2} ⋯ a_{k}) と置くとき rank(A) = k

【例】 A = ( \begin{matrix}0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \end{matrix} ) とする。先ず計算により |A| = 0 がわかるので rank(A) ≠ 3、す

なわち rank(A) ≦ 2 である。次に A から第 1,2 行の第 1,2 列を取り出して作った行列 ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix} ) を考えると、その行列式は −1 ≠ 0 なので rank(A) = 2 がわかる。

【122〜124】【例】の方法に倣って次の行列の階数を計算せよ。

【122】 ( \begin{matrix}1 & a & a^{2} \\ 1 & b & b^{2} \end{matrix} )  【123】( \begin{matrix}1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & −1 & 4 \\ 1 & 2 & 4 & −1 \end{matrix} )  【124】( \begin{matrix}1 & 2 & 0 & 3 \\ 2 & 4 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{matrix} )

【125】3 次行列 A = ( \begin{matrix}ad & ae & af \\ bd & be & bf \\ cd & ce & cf \end{matrix} ) の階数は 0 または 1 であることを示せ。

【126】4 次行列 A = ( \begin{matrix}a & 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 & 1 \\ 1 & 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & 1 & a \end{matrix} ) に対して

(1) rank(A) = 4 となるための a の必要十分条件を求めよ。

(2) rank(A) = 2 とはならないことを示せ。【解空間】 A を (m, n) 行列とするとき、連立一次方程式

(∗) Ax = 0

の解ベクトル全体の集合

W = { x ∈ R^{n} | Ax = 0 }

を (∗) の解空間という。

【命題 C】上の W について

(1) x, y ∈ W ⟹ x + y ∈ W (2) x ∈ W, k : スカラー ⟹ kx ∈ W が成り立つ。（この性質はベクトル空間として一般化されることになる。）

【定理 D】 A が A = ( \begin{matrix}E_{r} & B \\ O & O \end{matrix} ) ( B : (r, n − r) 行列 ) の形であるとする。このとき

( \begin{matrix}−B \\ E_{n−r} \end{matrix} ) の列ベクトル表示を

( \begin{matrix}−B \\ E_{n−r} \end{matrix} ) = (b_{1} b_{2} ⋯ b_{n−r})

と置けば、

(1) Ax = 0 ⟺ x は b_{1}, b_{2}, ⋯, b_{n−r} の一次結合。

(2) 解空間 W = ⟨ b_{1}, b_{2}, ⋯, b_{n−r} ⟩

【定理 E】一般の (m, n) 行列 A に対して、方程式 Ax = 0 の解空間は

W = ⟨ u_{1}, u_{2}, ⋯, u_{n−r} ⟩

と表される。 ( しかも , u_{1}, u_{2}, ⋯, u_{n−r} は一次独立。 )

【127〜130】次の行列 A について、連立一次方程式 Ax = 0 の解空間

W = { x ∈ R^{n} | Ax = 0 } を

W = ⟨ u_{1}, u_{2}, ⋯, u_{n−r} ⟩

の形で記述せよ。

【127】( \begin{matrix}1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & −1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{matrix} ) 【128】( \begin{matrix}1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{matrix} )

【129】( \begin{matrix}0 & 1 & 0 & −1 & 3 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \end{matrix} ) 【130】( \begin{matrix}1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{matrix} )