応用線形代数演習 I ( 塩田教官 ) No.9

テーマ : 余因子・余因子行列、クラメルの公式、ファン・デル・モンドの行列式以下、本プリントでは行列のサイズ n は n ≧ 2 とする。【余因子・余因子行列】 A = (a_{ij}) を n 次行列とする。

• A から第 i 行と第 j 列を取り除いてできる (n−1) 次行列の行列式に (−1)^{i+j} を

掛けた数を A の (i, j) 余因子と呼び、通常 ã_{ij} と書く。

• ã_{ij} \underline{を} (j, i) \underline{成分とする}n 次行列 Ã = adj(A) = (ã_{ji}) を A の余因子行列と呼ぶ。

【注意】 • 余因子行列の定義で i \underline{と} j \underline{を逆にすること}は忘れやすいので特に注意。

• (−1)^{i+j} は例えば 3 次行列ならば\begin{matrix}+1 & −1 & +1 \\ −1 & +1 & −1 \\ +1 & −1 & +1 \end{matrix} .

【例】 • A = (a_{ij}) = ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) から第 1 行と第 2 列を取り除くと 1 次行列 (c) が得られ、 (−1)^{1+2} = −1 ゆえ ã_{12} = −c. 同様に ã_{11} = d, ã_{21} = −b, ã_{22} = a. 従って

Ã = ( \begin{matrix}ã_{11} & ã_{21} \\ ã_{12} & ã_{22} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}d & −b \\ −c & a \end{matrix} ).

• A = (a_{ij}) = ( \begin{matrix}a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{matrix} ) から第 1 行と第 2 列を取り除くと 2 次行列 ( \begin{matrix}d & f \\ g & i \end{matrix} ) が得られ、その行列式は di − fg. (−1)^{1+2} = −1 ゆえ ã_{12} = −(di − fg) 等々。

{【定理 A】 \atop (1)} （行列式の余因子展開） | A | = ∑_{k=1}^{n} a_{ik}ã_{ik} = ∑_{k=1}^{n} a_{ki}ã_{ki}.

(2) i ≠ j ならば ∑_{k=1}^{n} a_{ik}ã_{jk} = ∑_{k=1}^{n} a_{ki}ã_{kj} = 0.

(3) AÃ = ÃA = | A | E_{n}.

(4) （逆行列の公式） | A | ≠ 0 ならば A は正則で、 A^{−1} = \frac{1}{| A |} Ã.

【98〜100】次の行列の余因子行列を計算し、正則な場合はその逆行列を求めよ。

【98】( \begin{matrix}0 & a & b \\ a & 0 & c \\ b & c & 0 \end{matrix} )  【99】( \begin{matrix}1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{matrix} )  【100】( \begin{matrix}0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} )

【101】A が整数成分の n 次正方行列ならば、次の 2 条件は同値であることを示せ。 (1) | A | = ±1 (2) A は正則で、 A^{−1} の成分も全て整数。【102〜103】余因子展開を利用して次の行列式を計算し、答えを因数分解せよ。

【102】| \begin{matrix}0 & a & b & c \\ −a & 0 & d & e \\ −b & −d & 0 & f \\ −c & −e & −f & 0 \end{matrix} | 【103】| \begin{matrix}a & 0 & b & 0 \\ 0 & a & 0 & b \\ c & 0 & d & 0 \\ 0 & c & 0 & d \end{matrix} |

【104〜105】 n 次行列 A について次を示せ。【104】| A | = 0 ならば | Ã | = 0 【105】(1) | Ã | = | A |^{n−1} (2) 「 A が正則」 ⟺ 「 Ã が正則」

【106〜108】 n 次正則行列 A, B について次を示せ。

【106】 ÃB = (B̃) (Ã)  【107】 ˜(^{t}A) = ^{t}(Ã)  【108】 ˜(Ã) = | A |^{n−2}A

【109^{∗}】【106〜108】は A, B が正則でなくても成立することを示せ。

【定理 B (クラメルの公式)】 A = (a_{ij}) = (a_{1}, a_{2}, ⋯, a_{n}) を n 次正則行列、 b = ( b_{1} ; ⋮ ; b_{n} )

を n 項ベクトル、 x = ( x_{1} ; ⋮ ; x_{n} ) を未知数の n 項ベクトルとするとき、連立一次方程式

Ax = b すなわち{ a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + ⋯ + a_{1n}x_{n} = b_{1} ; a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + ⋯ + a_{2n}x_{n} = b_{2} ; ⋮ ; a_{n1}x_{1} + a_{n2}x_{2} + ⋯ + a_{nn}x_{n} = b_{n}

の解は次の式で求められる :

x_{1} = det(b, a_{2}, a_{3}, ⋯, a_{n})/ det(A)

x_{2} = det(a_{1}, b, a_{3}, ⋯, a_{n})/ det(A)
...
x_{n} = det(a_{1}, a_{2}, ⋯, a_{n−1}, b)/ det(A)

【110 (ファン・デル・モンドの行列式)】

| \begin{matrix}1 & x_{1} & x_{1}^{2} & ⋯ & x_{1}^{n−1} \\ 1 & x_{2} & x_{2}^{2} & ⋯ & x_{2}^{n−1} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ 1 & x_{n} & x_{n}^{2} & ⋯ & x_{n}^{n−1} \end{matrix} | = ∏_{1 ≦ i < j ≦ n}(x_{j} − x_{i}) を示せ。

【111】xy-平面内に x 座標の異なる n + 1 個の点 P_{0}, P_{1}, ⋯, P_{n} を取るとき、これらの点を全て通る n 次関数 y = f(x) のグラフが唯ひとつ存在することを示せ。