応用線形代数演習 I ( 塩田教官 ) No.2

テーマ : 転置行列、対称行列、交代行列、対角行列、三角行列、トレース

【転置行列】 (m, n) 行列 A = (a_{ij}) に対し、 a_{ij}を (j, i) 成分に持つ (n, m) 行列を A の転置行列と言い、^{t}A と表す。例えば

t( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{matrix} )

【10〜12 (命題)】 k をスカラー、 A, B をサイズの等しい行列とするとき、次を示せ。

【10】^{t}(A + B) = (^{t}A) + (^{t}B)  【11】^{t}(kA) = k (^{t}A)  【12】^{t}(^{t}A) = A

【定理】 A を (m, ℓ) 行列、 B を (ℓ, n) 行列とするとき、

t(AB) = (^{t}B) (^{t}A)

( 順番が逆になることに注意。 )

【定義】 • ^{t}A = A を満たす正方行列を対称行列と言う。 • ^{t}A = −A を満たす正方行列を交代行列と言う。

• n 次正方行列 A = (a_{ij}) の対角線上の成分 a_{11}, ⋯, a_{nn} を A の対角成分と言う。 • 対角成分以外の成分が全て 0 であるような正方行列を対角行列と言う。

• 対角成分より下の成分が全て 0 であるような正方行列を上三角行列と言う。

• 対角成分より上の成分が全て 0 であるような正方行列を下三角行列と言う。

【13】A を (m, n) 行列とするとき、積 A^{t}A 及び^{t}AA が定義できて、 A^{t}A は m 次対称行列、^{t}AA は n 次対称行列になることを示せ。

【14】A が対称行列ならば任意の自然数 m について A^{m} も対称行列であることを示せ。

【15】A が交代行列のとき、どの様な自然数 m について A^{m} は交代行列になるか、また対称行列になるか？

【16】A, B が共に n 次の対称行列のとき、その積 AB も対称行列になるか？

【17】任意の正方行列 A に対して次を示せ。 (1) A + ^{t}A は対称行列、 A − ^{t}A は交代行列である。

(2) A は或る対称行列と或る交代行列の和に書くことができる。

(3) A を対称行列と交代行列の和の形に書く方法はひととおりしかない。

【定理】 A = ( \begin{matrix}λ_{1} \\ & . & . & . \\ & & & & λ_{n} \end{matrix} ), B = ( \begin{matrix}μ_{1} \\ & . & . & . \\ & & & & μ_{n} \end{matrix} ) を共に n 次の対角行列とすると、

(1) AB = ( \begin{matrix}λ_{1}μ_{1} \\ & . & . & . \\ & & & & λ_{n}μ_{n} \end{matrix} ) (2) A^{k} = ( \begin{matrix}λ_{1}^{k} \\ & . & . & . \\ & & & & λ_{n}^{k} \end{matrix} ) ( k = 1, 2, ⋯)

【定理】 A, B が共に n 次の上三角行列ならば、その和 A + B も、その積 AB も上三角行

列になる。 (下三角行列でも同様。 ) 【18】上三角行列 A が同時に交代行列でもあれば A = O であることを示せ。【トレース】 n 次正方行列 A = (a_{ij}) に対しその n 個の対角成分の和を

tr (A) = ∑_{i=1}^{n} a_{ii} = a_{11} + a_{22} + ⋯ + a_{nn}

と書き、 A のトレース (trace) と言う。【19〜21 (命題)】 n 次正方行列 A, B とスカラー k に対して次を示せ。

【19】tr (kA) = k tr (A)

【20】tr (A + B) = tr (A) + tr (B)

【21】tr (^{t}A) = tr (A) 【22】tr (AB) = tr (A) × tr (B) は正しいか？【23 (命題)】 (m, n) 行列 A と (n, m) 行列 B に対して tr (AB) = tr (BA) を示せ。【24】2 次行列 A, B, C で tr (ABC) ≠ tr (CBA) なる例を作れ。【25】AB − BA = E_{n} となる実 n 次行列 A, B は存在しないことを示せ。【26】AB + BA = O, AB ≠ O, BA ≠ O となる 2 次行列 A, B の例を作れ。【27】複素 2 次行列 ( 複素数を成分に持つ 2 次行列 ) A で、 tr (^{t}AA) = 0 であるが A ≠ O

である様な例を作れ。【28】2 次行列 A, B, C を、 A = ( \begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & 1 \end{matrix} ), B = ( \begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ), C := AB とおく。この

とき、 A^{3}, B^{2}, C^{7} を計算せよ。