応用線形代数演習 I ( 塩田教官 ) No.1

テーマ : 行列と数ベクトルの基本的定義

【定義】 • 数を縦または横に並べて書いてカッコで括ったものを数ベクトルと呼ぶ。

• n 個の数を縦に並べた数ベクトルを n 項列ベクトル、縦に並べた数ベクトルを n 項行ベクトルと言う。

• 数を縦横に長方形に並べて書いてカッコで括ったものを行列と呼ぶ。

• 行列の横の並びを行、縦の並びを列と言う。

• 覚え方は「行に = あり、列に || あり」。

• m 個の行と n 個の列を持つ行列を (m, n) 行列または m × n 行列と言う。

• 数ベクトルも行列の一種である。すなわち、 (1, n) 行列 = n 項行ベクトル、 (m, 1) 行列 = m 項列ベクトル、である。

• 行列の上から i 番目の行を第 i 行ベクトル、左から j番目の列を第 j 列ベクトルと言う。

• 行列の上から i 番目の行の、左から j番目の列の数を (i, j) 成分と言う。

• (i, j) 成分が a_{ij} であるような行列 A を A = (a_{ij}) と書く。

• (n, n) 行列を特に n 次行列または n 次正方行列と言う。

• ベクトルや行列と区別するために、数のことをスカラーと呼ぶ。

• 行列 A = (a_{ij}) のスカラー c によるスカラー倍は、 cA = (ca_{ij}) と定義される。 • 行列の和・差はサイズが等しい行列についてのみ定義され、対応する成分ごとの

和・差を取る。すなわち、 (a_{ij}) ± (b_{ij}) = (a_{ij} ± b_{ij}).

• 行列の積はサイズの組み合わせが

(ℓ, m) 行列 × (m, n) 行列 = (ℓ, n) 行列

の時のみ定義される。（内側の m がポイント） A = (a_{ik}) が (ℓ, m) 行列、 B = (b_{kj}) が (m, n) 行列のとき、その積 C = (c_{ij}) = AB の成分は

c_{ij} = ∑_{k=1}^{m} a_{ik}b_{kj} = a_{i1}b_{1j} + ⋯ + a_{im}b_{mj}

で定められる。すなわち、

ABの (i, j) 成分 = A の第i 行ベクトルとBの第j 列ベクトルの積 ⋄ 一般には AB = BA は成り立たない。 ⋄ (積がこの順で定義できるとき、 ) 結合律 A(BC) = (AB)C が成り立つ。

• 正方行列 A のべき乗を A^{2} = AA, A^{3} = AA^{2}, ⋯ と定める。

• サイズ (m, n) の零行列を O = O_{m,n} = ( \begin{matrix}0 & ⋯ & 0 \\ ⋮ & & ⋮ \\ 0 & ⋯ & 0 \end{matrix} )、 O_{n} := O_{n,n}、 n 次の単

位行列を E = E_{n} = ( \begin{matrix}1 & ⋯ & 0 \\ ⋮ & ... & ⋮ \\ 0 & ⋯ & 1 \end{matrix} ) と表す。 ( 単位行列を I_{n}, 1_{n} と書く人も

いる。 )

⋄ 任意の行列 A について、

A + O = O + A = A, AO = O, OA = O, AE = EA = A が成り立つ。（ただし O, E は A との和や積が定義できるサイズの零行列・単位行列）

【1】(1) xy-平面内のふたつのベクトル a = ( \begin{matrix}a \\ b \end{matrix} ) と c = ( \begin{matrix}c \\ d \end{matrix} ) のなす角を θ とすると

き、 cos θ を a, b, c, d で表せ。

(2) a と c の作る平行四辺形の面積は | ad − bc | であることを示せ。

【2】2 次行列 A = ( \begin{matrix}3 & 1 \\ 0 & 2 \end{matrix} ) と自然数 n について A^{n} を n の式で表せ。

【3】2 つの行列 A, B について積 AB と BA が共に定義できていて、しかも AB = BA であるという。このとき A, B はサイズの等しい正方行列であることを示せ。

【4】2 次行列 A, B について (A + B)(A − B) = A^{2} − B^{2} は成り立つか？

【5】(1) A ≠ O だが A^{2} = O となるような 2 次行列 A の例を挙げよ。 (2) A ≠ O, E だが A^{2} = A となるような 2 次行列 A の例を挙げよ。

【6】A も B も逆行列を持つが A + B も A − B も逆行列を持たないような 2 次行列 A, B の例を挙げよ。

【7】次の条件 (a)〜(c) を満たす 2 次行列 A をすべて求めよ:

(a) A の成分は全て負でない整数。 (b) A は逆行列をもつ。

(c) A^{−1} の成分も全て負でない整数。

【8】(1) 2 次行列 A = ( \begin{matrix}4 & 3 \\ −3 & 4 \end{matrix} ) と自然数 n について A^{n} の各成分を 5 で割った余りを調べよ。

(2) B = \frac{1}{5}A = ( \begin{matrix}4/5 & 3/5 \\ −3/5 & 4/5 \end{matrix} ) とおくとき、任意の自然数 n に対して B^{n} ≠ E で

あることを示せ。

(3) cos θ = \frac{4}{5}、 sin θ = \frac{3}{5} を満たす実数 θ は円周率 π の有理数倍ではないことを示せ。

【9】n 次行列 A = (a_{ij}) は条件

「任意の n 次行列 B に対して AB = BA となる」

を満たすという。このとき A は単位行列 E_{n} の適当なスカラー倍であることを示せ。