組合せとグラフの理論（塩田）第10回 (3)　プラトングラフの双対性
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プラトングラフの双対性

　プラトングラフの双対グラフは次のように描くことができます。
  1. 立体として考える（球面上に描くことと本質的に同じ）
  2. 各面の中心に点をひとつずつ打つ
  3. 隣り合った面に打った点同士の間に辺を描く
するとこんな絵になります。
    
     
　正多面体の双対グラフは再び正多面体グラフになっていますが、これは描き方から必然的にそうなるのです。定理としてまとめると、
Th.7　
  • 正四面体グラフの双対グラフは正四面体グラフである。（自己双対、と言います。）
  • 立方体グラフと正八面体グラフは互いに双対である。
  • 正十二面体グラフと正二十面体グラフは互いに双対である。
　前回の頂点数、辺数、面数の表
$n$ $m$ $f$ $n-m+f$
正四面体グラフ4642
立方体グラフ81262
正八面体グラフ61282
正十二面体グラフ2030122
正二十面体グラフ1230202
が対称的になっているのはこの定理が理由です。

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