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応用数学 第13回 (4) ラプラス逆変換の計算例

ラプラス逆変換の計算例

Ex.8 ( 表 I, 11 ) L1(as+b(sμ)2)=eμt(a+(b+μa)t)
 まず
as+b(sμ)2=a(sμ)(sμ)2+b+μa(sμ)2=a(sμ)+b+μa(sμ)2
と分けます。表 I, 3 より
L1(1s)=1, L1(1s2)=t
ゆえ、表 II, 1, 5 と合わせて L1(as+b(sμ)2)=aL1(1sμ)+(b+μa)L1(1(sμ)2)=a eμtL1(1s)+(b+μa) eμtL1(1s2)=eμt(a+(b+μa)t).
例 3.1 (4) L1(s+5s22s+5)=
 分母 =(s1)2+22 なので 表 I, 9-10λ=2 の場合
L1(2s2+22)=sin(2t), L1(ss2+22)=cos(2t)
が使えそうだな、と考えます。(s1) に着目して
s+5s22s+5=(s1)+6(s1)2+22=s1(s1)2+22+32(s1)2+22
と分けます。Ex.8 と同様にして L1(s+5s22s+5)=L1(s1(s1)2+22)+3L1(2(s1)2+22)= etL1(ss2+22)+3etL1(2s2+22)=et(cos(2t)+3sin(2t)).
例 3.2 (1) L1(2s+7s2+5s+6)=
 今度は分母 =(s+2)(s+3) なので部分分数を使ってみましょう。
2s+7s2+5s+6=As+2+Bs+3
とおくと
2s+7=A(s+3)+B(s+2)
s=2 を入れて A=3, s=3 を入れて B=1 がわかり、表 I, 6 から L1(2s+7s2+5s+6)=3L1(1s+2)L1(1s+3)=3e2te3t.
例 3.3 (2) L1(λ2(s2+λ2)2)=
 これは 表 II, 10 合成法則
L1(FG)=L1(F)L1(G)
を使う例です。 L1(λ2(s2+λ2)2)=L1(λs2+λ2)L1(λs2+λ2)=sin(λt)sin(λt)=t0sin(λ(tu))sin(λu)du=12t0{cos(λ(t2u))cos(λt)}du=12[{12λsin(λ(t2u))cos(λt)u}]t0=12{1λsin(λt)tcos(λt)}.

分数式のラプラス逆変換のポイント

 分数式は
1(sμ)n,  λ(sμ)2+λ2,  (sμ)(sμ)2+λ2,  λ(sμ)2λ2,  (sμ)(sμ)2λ2
の形の分数式を組み合わせた形に書き直し、 必要なら最後の例のように合成法則を使います。