応用数学 第13回 (2) ラプラス変換の基本法則 その2

$\newcommand{\LT}{\mathscr{L}}$

ラプラス変換の基本法則 その2 ( 教科書 p.49 の 表 II 後半 )

Th.3 (6)  微分法則
$\LT(f'(t)) = sF(s)-f(0)$,
$\LT(f^{(n)}(t)) = s^nF(s)-f(0)s^{n-1}-f'(0)s^{n-2}-\cdots-f^{n-1}(0)$  ( $s \gt 0$ ).
  1. 像の微分法則
    $\LT(-tf(t))=F'(s)$,
    $\LT((-t)^nf(t))=F^{(n)}(s)$.
  2. 積分法則
    $\dps{\LT\left(\int_0^t f(t)dt\right)=\frac{1}{s}F(s)}$,
    $\dps{\LT\Bigg(\underbrace{\int_0^t\cdots\int_0^t}_{n \mbox{ times}} f(t)dt\cdots dt\Bigg)=\frac{1}{s^n}F(s)}$.
  3. 像の積分法則
    $\dps{\LT\left(\frac{1}{t}f(t)\right)=\int_s^{\infty}F(s)ds}$,
    $\dps{\LT\left(\frac{1}{t^n}f(t)\right)=\underbrace{\int_s^{\infty}\cdots\int_s^{\infty}}_{n \mbox{ times}} F(s)ds\cdots ds}$.

証明 (6)

\begin{align} \LT(f'(t)) &=\int_0^{\infty} f'(t)e^{-st}dt \\ &=\Big[f(t)e^{-st}\Big]_0^{\infty} + s\int_0^{\infty} f(t)e^{-st}dt = -f(0)+sF(s). \end{align}

(7)

\begin{align} F'(s) &=\int_0^{\infty} \frac{\partial}{\partial s}f(t)e^{-st}dt \\ &=\int_0^{\infty} (-t)f(t)e^{-st}dt =\LT(-tf(t)). \end{align}

(8) $\dps{g(t)=\int_0^t f(t)dt}$ とおくと、$g'=f$, $\ g(0)=0$ ゆえ (6) より
$F=\LT(f)=\LT(g')=s\LT(g)$
$\therefore$ $\dps{\LT(g)=\frac{1}{s}F(s).}$

(9)

\begin{align} \int_s^{\infty} F(s)ds &= \int_s^{\infty} \int_0^{\infty} f(t) e^{-st} dt\, ds \\ &= \int_0^{\infty} f(t) \int_s^{\infty} e^{-st} ds\, dt \\ &= \int_0^{\infty} f(t) \Big[ -\frac{1}{t} e^{-st}\Big]_s^{\infty} dt \\ &= \int_0^{\infty} \frac{1}{t} f(t) e^{-st} dt =\LT\left(\frac{1}{t} f(t)\right). \end{align}

それぞれ2つ目の式はこれらの繰り返しです。(証明終)

Ex.4 $\LT(t\cos(\lambda t))=$ ?
 表 I, 10 より
$\dps{\LT(\cos(\lambda t))=\frac{s}{s^2+\lambda^2}}$
ゆえ、(7) より \begin{align} \LT(t\cos(\lambda t)) &=-\frac{d}{ds} \left( \frac{s}{s^2+\lambda^2} \right) \\ &=-\frac{(s^2+\lambda^2) - s(2s)}{(s^2+\lambda^2)^2} =\frac{s^2-\lambda^2}{(s^2+\lambda^2)^2} . \\ \end{align}
Ex.5 $\dps{\LT\left(\frac{\sin(t)}{t}\right)=}$ ?
 表 I, 9 より
$\dps{\LT(\sin(t))=\frac{1}{s^2+1}}$
ゆえ、(9) より \begin{align} \LT\left(\frac{\sin(t)}{t}\right) &=\int_s^{\infty} \frac{1}{s^2+1} ds \\ &=\Big[\tan^{-1}(s)\Big]_s^{\infty} =\frac{\pi}{2}-\tan^{-1}(s). \\ \end{align}