応用数学 第13回 (2) ラプラス変換の基本法則 その２
ラプラス変換の基本法則 その２ ( 教科書 p.49 の 表 II 後半 )
Th.3 (6) 微分法則
L(f′(t))=sF(s)−f(0),
L(f(n)(t))=snF(s)−f(0)sn−1−f′(0)sn−2−⋯−fn−1(0) ( s>0 ).
- 像の微分法則
L(−tf(t))=F′(s),
L((−t)nf(t))=F(n)(s).
- 積分法則
L(∫t0f(t)dt)=1sF(s),
L(∫t0⋯∫t0⏟n timesf(t)dt⋯dt)=1snF(s).
- 像の積分法則
L(1tf(t))=∫∞sF(s)ds,
L(1tnf(t))=∫∞s⋯∫∞s⏟n timesF(s)ds⋯ds.
証明 (6)
L(f′(t))=∫∞0f′(t)e−stdt=[f(t)e−st]∞0+s∫∞0f(t)e−stdt=−f(0)+sF(s).
(7)
F′(s)=∫∞0∂∂sf(t)e−stdt=∫∞0(−t)f(t)e−stdt=L(−tf(t)).
(8)
g(t)=∫t0f(t)dt とおくと、
g′=f,
g(0)=0 ゆえ (6) より
F=L(f)=L(g′)=sL(g)
∴ L(g)=1sF(s).
(9)
∫∞sF(s)ds=∫∞s∫∞0f(t)e−stdtds=∫∞0f(t)∫∞se−stdsdt=∫∞0f(t)[−1te−st]∞sdt=∫∞01tf(t)e−stdt=L(1tf(t)).
それぞれ２つ目の式はこれらの繰り返しです。(証明終)
例
Ex.4 L(tcos(λt))= ？
解 表 I, 10 より
L(cos(λt))=ss2+λ2
ゆえ、(7) より
L(tcos(λt))=−dds(ss2+λ2)=−(s2+λ2)−s(2s)(s2+λ2)2=s2−λ2(s2+λ2)2.
Ex.5 L(sin(t)t)= ？
解 表 I, 9 より
L(sin(t))=1s2+1
ゆえ、(9) より
L(sin(t)t)=∫∞s1s2+1ds=[tan−1(s)]∞s=π2−tan−1(s).