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ガンマ関数

　$t^{\lambda}$ のラプラス変換の公式には、次に定義するガンマ関数が出てきます。 ※　ガンマ関数はオイラー先生が定義した関数で、ゼータ関数の理論、確率論、統計学などで活躍します。 次の (3) の意味で、階乗関数の一般化 となっています： 証明　(1)　$\dps{\Gamma(1)=\int_0^{\infty} e^{-t}dt = \Big[-e^{-t}\,\Big]_0^{\infty}=1}$, $$\begin{align} \Gamma\left(\frac{1}{2}\right) =\int_0^{\infty} e^{-t}\,t^{-1/2}dt &=\int_0^{\infty} e^{-u^2}\,u^{-1} 2udu \qquad (\ t=u^2\ ) \\ &=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-u^2}du = \sqrt{\pi}.\\ \end{align}$$    ただし最後の $=$ は有名なガウス積分です。

1. $$\begin{align} \Gamma(s+1) &=\int_0^{\infty} e^{-t}\,t^{s}dt \\ &= \Big[-e^{-t}\,t^s\,\Big]_0^{\infty} + s \int_0^{\infty}e^{-t}\,t^{s-1} dt = (0-0) + s\,\Gamma(s). \\ \end{align}$$

2. は (1), (2) より。(証明終)

　これで $t^{\lambda}$ のラプラス変換の公式が書けます： 証明　(1)　

$$\begin{align} \Gamma(\lambda+1) &=\int_0^{\infty} e^{-t}\,t^{\lambda}dt \\ &=\int_0^{\infty} e^{-su}\,(su)^{\lambda} sdu \qquad (\ t = su, \ s \gt 0\ ) \\ &=s^{\lambda+1} \int_0^{\infty} e^{-su}\,u^{\lambda} du \\ &=s^{\lambda+1} \int_0^{\infty} t^{\lambda}e^{-st}\, dt = s^{\lambda+1}\LT(t^{\lambda})(s) \\ \end{align}$$

よって $\dps{\LT(t^{\lambda})=\frac{\Gamma(\lambda+1)}{s^{\lambda+1}}}$. (2), (3) は (1) と Th.5 より。(証明終)

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