応用数学 第12回 (3)　ガンマ関数
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$\newcommand{\LT}{\mathscr{L}}$

ガンマ関数

　$t^{\lambda}$ のラプラス変換の公式には、次に定義するガンマ関数が出てきます。
Def.4　次の関数をガンマ関数と呼ぶ：
$\dps{\Gamma(s)=\int_0^{\infty} e^{-t}\,t^{s-1}dt}$
※　ガンマ関数はオイラー先生が定義した関数で、ゼータ関数の理論、確率論、統計学などで活躍します。 次の (3) の意味で、階乗関数の一般化 となっています：
Th.5　(1)　$\Gamma(1)=1$, $\ \dps{\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}}$.
  1. $\Gamma(s+1)=s\,\Gamma(s)$.
  2. 特に $n$ が自然数ならば $\Gamma(n)=(n-1)\,!$.
証明　(1)　$\dps{\Gamma(1)=\int_0^{\infty} e^{-t}dt = \Big[-e^{-t}\,\Big]_0^{\infty}=1}$, \begin{align} \Gamma\left(\frac{1}{2}\right) =\int_0^{\infty} e^{-t}\,t^{-1/2}dt &=\int_0^{\infty} e^{-u^2}\,u^{-1} 2udu \qquad (\ t=u^2\ ) \\ &=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-u^2}du = \sqrt{\pi}.\\ \end{align}    ただし最後の $=$ は有名なガウス積分です。

  1. \begin{align} \Gamma(s+1) &=\int_0^{\infty} e^{-t}\,t^{s}dt \\ &= \Big[-e^{-t}\,t^s\,\Big]_0^{\infty} + s \int_0^{\infty}e^{-t}\,t^{s-1} dt = (0-0) + s\,\Gamma(s). \\ \end{align}

  2. は (1), (2) より。(証明終)

　これで $t^{\lambda}$ のラプラス変換の公式が書けます：
Th.6　(1)　$\LT(t^{\lambda})=\dps{\frac{\Gamma(\lambda+1)}{s^{\lambda+1}}}$.
  1. $n$ が自然数ならば $\LT(t^n)=\dps{\frac{n\,!}{s^{n+1}}}$.
  2. $\LT\left(\dps{\frac{1}{\sqrt{t}}}\right)=\sqrt{\dps{\frac{\pi}{s}}}$.
証明　(1)　

\begin{align} \Gamma(\lambda+1) &=\int_0^{\infty} e^{-t}\,t^{\lambda}dt \\ &=\int_0^{\infty} e^{-su}\,(su)^{\lambda} sdu \qquad (\ t = su, \ s \gt 0\ ) \\ &=s^{\lambda+1} \int_0^{\infty} e^{-su}\,u^{\lambda} du \\ &=s^{\lambda+1} \int_0^{\infty} t^{\lambda}e^{-st}\, dt = s^{\lambda+1}\LT(t^{\lambda})(s) \\ \end{align}

よって
$\dps{\LT(t^{\lambda})=\frac{\Gamma(\lambda+1)}{s^{\lambda+1}}}$.
(2), (3) は (1) と Th.5 より。(証明終)

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