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問題設定

　前回扱った熱伝導方程式 を、今日は 境界条件を外して 解きます。 変数 $t$ はフーリエ変換の変数に使いますので、今日は時刻を $s$ で表します。 　境界条件をはずしたということは、棒が無限の長さを持っているということです。

Step 1 ( フーリエ変換 )

　$u$ の、$x$ についてのフーリエ変換を $\hat u$ と表すと、 Th.4 (2) より $\dps{\widehat{\left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\right)}=(it)^2\hat u=-t^2\hat u}$ $$\begin{align} \therefore   \frac{\partial \hat u}{\partial s} & = \frac{\partial}{\partial s} \left( \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} u(x,s) e^{-itx}dx \right) \\ & = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} \left(\frac{\partial}{\partial s} u(x,s)\right) e^{-itx}dx \\ & = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} \left(c^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\right) e^{-itx}dx \\ &= c^2 \widehat{\left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\right)} = -c^2t^2\hat u \\ \end{align}$$ $s$ の関数として解くと $\dps{\hat u = Ce^{-c^2t^2s}}$ 初期条件より $\dps{\hat u(t,0)=\widehat{u(x,0)}=\hat f(t)}$ ゆえ $\dps{C= Ce^{-c^2t^2\times 0}=\hat u(t,0)=\hat f(t)}$ よって $\dps{\hat u(t, s)=\hat f(t)e^{-c^2st^2}}$

Step 2 ( フーリエ逆変換 )

　この式をフーリエ逆変換すると、Th.7 より $\dps{u(x,s)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}f(x) * ( e^{-c^2st^2}}$ のフーリエ逆変換 $)$ Ex.8 を使うために $\dps{\frac{1}{4\alpha}=c^2s}$ とおくと $\dps{\alpha=\frac{1}{4c^2s}}$ で $\dps{( e^{-c^2st^2}}$ のフーリエ逆変換 $\dps{)=\sqrt{2\alpha}e^{-\alpha x^2}=\frac{1}{c\sqrt{2s}}e^{-x^2/(4c^2s)}}$ よって $\dps{u(x,s)=\frac{1}{2c\sqrt{\pi s}} \int_{-\infty}^{\infty} f(x-y)\, e^{-y^2/(4c^2s)}dy}$. 積分表示の形で解が得られました。


　次回から勉強するラプラス変換は、 この「変換して、簡単に解いて、逆変換」というパターンで微分方程式を解くための 強力な道具です。

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