応用数学 第11回 (1) フーリエ変換の定義と基本定理
フーリエ変換の発想
周期 $2\ell$ を持つ"良い"関数は、変数 $\dps{\frac{n\pi x}{\ell}}$ ( $n=0,1,2,\cdots$ ) の $\sin$, $\cos$ の無限和でした。
周期を持たない関数も $\sin$, $\cos$ の無限和にならないだろうか、と考えた人たちがいました。そのとき
- $\dps{\frac{n\pi }{\ell}}$ を、連続なパラメータ $t$ に、
- $n$ についての $\sum$ を、$t$ による積分に、
置き換えてはどうかな？ と考えました。
フーリエ変換の定義
Def.1 実数上で定義され、区分的になめらかな、かつ
$\dps{\int_{-\infty}^{\infty}|\,f(x)\,|\,dx \lt +\infty}$
を満たす関数 $f(x)$ に対し、
$$
\hat f(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-itx}dx
\tag{$\ast$}
$$
を $f(x)$ の「フーリエ変換」と呼ぶ。
オイラーの公式
$\dps{e^{i\theta}=\cos\theta + i\sin\theta}$
より
$\dps{\hat f(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty}f(x)\big(\cos(tx)-i\sin(tx)\big)dx}$
です。前回までは $\sin$ と $\cos$ で書いていましたが、オイラーの公式を用いて $\sin$ と $\cos$ を一緒に書いています。
※ $f$ と $\hat f$ は違う変数で書く習慣です。
この講義では $f$ の変数を $x$, $\hat f$ の変数を $t$ で書きます。
Rem.2 $f(x)$ が偶関数ならば
$$
\hat f(t)=\sqrt{\frac{2}{\pi}} \int_{0}^{\infty}f(x)\cos(tx)dx
$$
$f(x)$ が奇関数ならば
$$
\hat f(t)=-i\sqrt{\frac{2}{\pi}} \int_{0}^{\infty}f(x)\sin(tx)dx
$$
証明
$f$ が偶関数ならば
\begin{align}
\hat f(t)
&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \left\{ \int_{-\infty}^{0}f(x)\big(\cos(tx)-i\sin(tx)\big)dx
+ \int_{0}^{\infty}f(x)\big(\cos(tx)-i\sin(tx)\big)dx \right\} \\
&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \left\{ \int_{\infty}^{0}f(-x)\big(\cos(t(-x))-i\sin(t(-x))\big)d(-x) \right.\\
&\phantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa}+ \left.\int_{0}^{\infty}f(x)\big(\cos(tx)-i\sin(tx)\big)dx \right\} \\
&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \left\{ \int_{0}^{\infty}f(x)\big(\cos(tx)+i\sin(tx)\big)dx
+ \int_{0}^{\infty}f(x)\big(\cos(tx)-i\sin(tx)\big)dx \right\} \\
&=\sqrt{\frac{2}{\pi}} \int_{0}^{\infty}f(x)\cos(tx)dx \\
\end{align}
$f$ が奇関数のときも同様です。(証明終)
基本定理
Th.3 $f(x)$ を、
Def.1 の条件を満たす関数とするとき、
- $f(x)$ の連続点では
$$
f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty}\hat f(t)e^{ixt}dt
\tag{$\sharp$}
$$
が成り立つ ( フーリエの反転公式 )。この意味で $f(x)$ を「 $\hat f(t)$ のフーリエ逆変換」と呼ぶ。
- $f(x)$ の不連続点では
$(\sharp)$ の右辺 $\dps{=\frac{1}{2}\big(f(x-0)+f(x+0)\big)}$
が成り立つ。
※ フーリエ変換 $(\ast)$ と逆変換 $(\sharp)$ では
$e$ の肩の $\pm$ が違う ので注意してください。
※ 証明は難しいので省略します。
"良い"関数 $f(x)$ は、連続的パラメータ $t$ について
- 三角関数 $\dps{e^{itx}} = \cos(tx) + i \sin(tx)$ を
- 重み $\dps{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\hat f(t)}$ で
足し合わせたものになる
という内容の定理です。