応用数学（塩田）2022年度

応用数学第11回 (1)　フーリエ変換の定義と基本定理

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フーリエ変換の発想

　周期

$2\ell$ を持つ"良い"関数は、変数

$\dps{\frac{n\pi x}{\ell}}$ (

$n=0,1,2,\cdots$ ) の

$\sin$ ,

$\cos$ の無限和でした。周期を持たない関数も

$\sin$ ,

$\cos$ の無限和にならないだろうか、と考えた人たちがいました。そのとき

$\dps{\frac{n\pi }{\ell}}$ を、連続なパラメータ $t$ に、
$n$ についての $\sum$ を、 $t$ による積分に、

置き換えてはどうかな？　と考えました。

フーリエ変換の定義

Def.1　実数上で定義され、区分的になめらかな、かつ

$\dps{\int_{-\infty}^{\infty}|\,f(x)\,|\,dx \lt +\infty}$ を満たす関数

$f(x)$ に対し、

$\hat f(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-itx}dx \tag{$\ast$}$ を

$f(x)$ の「フーリエ変換」と呼ぶ。

オイラーの公式

$\dps{e^{i\theta}=\cos\theta + i\sin\theta}$ より

$\dps{\hat f(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty}f(x)\big(\cos(tx)-i\sin(tx)\big)dx}$ です。前回までは

$\sin$ と

$\cos$ で書いていましたが、オイラーの公式を用いて

$\sin$ と

$\cos$ を一緒に書いています。

※　

$f$ と

$\hat f$ は違う変数で書く習慣です。この講義では

$f$ の変数を

$x$ ,

$\hat f$ の変数を

$t$ で書きます。

Rem.2　

$f(x)$ が偶関数ならば

$\hat f(t)=\sqrt{\frac{2}{\pi}} \int_{0}^{\infty}f(x)\cos(tx)dx$

$f(x)$ が奇関数ならば

$\hat f(t)=-i\sqrt{\frac{2}{\pi}} \int_{0}^{\infty}f(x)\sin(tx)dx$

証明を見る

証明

$f$ が偶関数ならば

$\begin{align} \hat f(t) &=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \left\{ \int_{-\infty}^{0}f(x)\big(\cos(tx)-i\sin(tx)\big)dx + \int_{0}^{\infty}f(x)\big(\cos(tx)-i\sin(tx)\big)dx \right\} \\ &=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \left\{ \int_{\infty}^{0}f(-x)\big(\cos(t(-x))-i\sin(t(-x))\big)d(-x) \right.\\ &\phantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa}+ \left.\int_{0}^{\infty}f(x)\big(\cos(tx)-i\sin(tx)\big)dx \right\} \\ &=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \left\{ \int_{0}^{\infty}f(x)\big(\cos(tx)+i\sin(tx)\big)dx + \int_{0}^{\infty}f(x)\big(\cos(tx)-i\sin(tx)\big)dx \right\} \\ &=\sqrt{\frac{2}{\pi}} \int_{0}^{\infty}f(x)\cos(tx)dx \\ \end{align}$

$f$ が奇関数のときも同様です。(証明終)

基本定理

Th.3　

$f(x)$ を、Def.1 の条件を満たす関数とするとき、

$f(x)$ の連続点では $f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty}\hat f(t)e^{ixt}dt \tag{$\sharp$}$ が成り立つ ( フーリエの反転公式 )。この意味で $f(x)$ を「 $\hat f(t)$ のフーリエ逆変換」と呼ぶ。
$f(x)$ の不連続点では $(\sharp)$ の右辺 $\dps{=\frac{1}{2}\big(f(x-0)+f(x+0)\big)}$ が成り立つ。

※　フーリエ変換

$(\ast)$ と逆変換

$(\sharp)$ では $e$ の肩の $\pm$ が違う ので注意してください。
※　証明は難しいので省略します。

"良い"関数

$f(x)$ は、連続的パラメータ

$t$ について

三角関数 $\dps{e^{itx}} = \cos(tx) + i \sin(tx)$ を
重み $\dps{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\hat f(t)}$ で

足し合わせたものになる

という内容の定理です。

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