応用数学（塩田）2022年度

応用数学 10回 (3)　波動方程式の解法

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波動方程式

Def.7　次の形の偏微分方程式を「波動方程式」と呼ぶ：

$c^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} \tag{6.1}$

　これは、

$x$ 軸上の区間

$0 \leqq x \leqq \ell$ に張られた弦の変位

$u(x,t)$ が満たす方程式です。

問　

$(6.1)$ を、

境界条件 $u(0,t)=u(\ell,t)=0$
初期条件 $u(x,0)=f(x)$ , $\dps{\frac{\partial u}{\partial t}(x,0)=g(x)}$

のもとで解け ( ただし

$f(x)$ ,

$g(x)$ は与えられた関数 ) 。

　境界条件は、弦の両端が

$x$ 軸に固定されていることを、初期条件の

$f(x)$ ,

$g(x)$ は時刻

$t=0$ での弦の変位と速度を表します。

Step 1 ( 変数分離解 )

　前ページと同様

$u(x,t)=X(x)T(t)$ (

$X(x)$ は

$x$ だけの、

$T(t)$ は

$t$ だけの関数 ) の形の「変数分離解」を探します。今度は

$\dps{\frac{X''}{X}=\frac{1}{c^2}\frac{T''}{T}}=$ 定数

$(-k)$ となります。境界条件

$X(0)=X(\ell)=0$ から L'a 2 を用いて

$\exists\, n$ ;

$\dps{k=\left(\frac{n\pi}{\ell}\right)^2}$ かつ

$\dps{X=A\sin\left(\frac{n\pi x}{\ell}\right)}$ となるところは一緒で、

$T$ は

$\dps{T=B\cos\left(\frac{n\pi c t}{\ell}\right)+B'\sin\left(\frac{n\pi c t}{\ell}\right)}$ となります。掛け合わせて

$\dps{U = XT = \sin\left(\frac{n\pi x}{\ell}\right) \left\{C\cos\left(\frac{n\pi c t}{\ell}\right)+D\sin\left(\frac{n\pi c t}{\ell}\right)\right\} }$ となります。

Step 2 ( 重ね合わせの原理 )

　今度も、変数分離解を重ね合わせた

$\dps{u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty} \sin\left(\frac{n\pi x}{\ell}\right) \left\{C_n\cos\left(\frac{n\pi c t}{\ell}\right)+D_n\sin\left(\frac{n\pi c t}{\ell}\right)\right\}}$ が初期条件を満たすように

$C_n$ ,

$D_n$ を決めます。

$t=0$ を入れると

$\dps{f(x)=u(x,0)=\sum_{n=1}^{\infty} C_n \sin\left(\frac{n\pi x}{\ell}\right) }$ . また

$\dps{\frac{\partial u}{\partial t}(x,t) =\sum_{n=1}^{\infty} \sin\left(\frac{n\pi x}{\ell}\right) \left(\frac{n\pi c}{\ell}\right)\left\{-C_n\sin\left(\frac{n\pi c t}{\ell}\right) +D_n\cos\left(\frac{n\pi c t}{\ell}\right)\right\}}$ に

$t=0$ を入れて

$\dps{g(x)=\frac{\partial u}{\partial t}(x,0) =\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{n\pi c}{\ell}\right)D_n\sin\left(\frac{n\pi x}{\ell}\right) }$ .

$f(x)$ 、

$g(x)$ のフーリエ正弦展開から

$\dps{C_n = \frac{2}{\ell}\int_{0}^{\ell}f(x)\sin\left(\frac{n\pi x}{\ell}\right)dx,}$

$\quad \dps{D_n = \frac{2}{n\pi c}\int_{0}^{\ell}g(x)\sin\left(\frac{n\pi x}{\ell}\right)dx.}$

例

Ex.8　

$\ell=\pi$ ,

$\dps{ f(x)= \left\{ \begin{array}{ll} x & (\ 0 \leqq x \leqq \displaystyle{\frac{\pi}{2}} \ ) \\ \pi-x & (\ \displaystyle{\frac{\pi}{2}} \leqq x \leqq \pi \ ) \\ \end{array} \right., }$

$g(x)=0$ のとき