応用数学（塩田）2022年度

応用数学第10回 (1)　いくつかの準備

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周期 $2\ell$ の場合

　前回は周期

$2\pi$ を持つ関数のフーリエ展開を扱いました。一般に周期

$2\ell$ を持つ関数については、変数を

$\dps{\frac{\ell}{\pi}}$ 倍して定理を読みかえます。

Th.1　周期

$2\ell$ を持つ、区分的になめらかな関数

$f(x)$ はフーリエ展開

$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left\{a_n\cos\left(\frac{n\pi x}{\ell}\right)+b_n\sin\left(\frac{n\pi x}{\ell}\right)\right\} \tag{$\sharp$}$ を持ち、そのフーリエ係数は

$\left\{ \begin{array}{ll} \dps{a_n = \frac{1}{\ell}\int_{-\ell}^{\ell}f(x)\cos\left(\frac{n\pi x}{\ell}\right)dx} & \forall n \geqq 0 \\ \dps{b_n = \frac{1}{\ell}\int_{-\ell}^{\ell}f(x)\sin\left(\frac{n\pi x}{\ell}\right)dx} & \forall n \geqq 1 \\ \end{array} \right. \tag{$\star$}$ によって定まる。

12月17日追記　上記の

$a_n$ ,

$b_n$ は、

$f(x)$ が偶関数 ( $f(-x) = f(x)$ ) のときは $\left\{ \begin{array}{ll} \dps{a_n = \frac{2}{\ell}\int_{0}^{\ell}f(x)\cos\left(\frac{n\pi x}{\ell}\right)dx} & \forall n \geqq 0 \\ \dps{b_n = 0} & \forall n \geqq 1 \\ \end{array} \right.$
$f(x)$ が奇関数 ( $f(-x) = -f(x)$ ) のときは $\left\{ \begin{array}{ll} \dps{a_n = 0} & \forall n \geqq 0 \\ \dps{b_n = \frac{2}{\ell}\int_{0}^{\ell}f(x)\sin\left(\frac{n\pi x}{\ell}\right)dx} & \forall n \geqq 1 \\ \end{array} \right.$

フーリエ余弦級数

　区間

$0 \leqq x \leqq \ell$ だけで定義されている関数

$f(x)$ があるとき、区間

$-\ell \lt x \lt 0$ での値を

$\dps{f(x)=f(-x)}$ と定義し、さらにこれを周期

$2\ell$ を持つように全ての

$x$ に拡張すると、周期

$2\ell$ の 偶関数 が得られます。

$\quad\longrightarrow\quad$

そのフーリエ展開は

$\cos$ だけで表されますので

Th.2　区間

$0 \leqq x \leqq \ell$ で定義されている、区分的になめらかな関数

$f(x)$ は、フーリエ係数

$\dps{a_n = \frac{2}{\ell}\int_{0}^{\ell}f(x)\cos\left(\frac{n\pi x}{\ell}\right)dx}$ (

$n \geqq 0$ ) を用いて

$\dps{f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos\left(\frac{n\pi x}{\ell}\right)}$ (

$0 \leqq x \leqq \ell$ ,

$x$ は連続点 ) と表される。これを

$f(x)$ のフーリエ余弦級数 ( フーリエ余弦展開 ) と呼ぶ。

フーリエ正弦級数

　同様に区間

$-\ell \lt x \lt 0$ での値を

$\dps{f(x)=-f(-x)}$ と定義し、さらにこれを周期

$2\ell$ を持つように全ての

$x$ に拡張すると、今度は周期

$2\ell$ の 奇関数 が得られます ( 不連続点以外で ) 。

$\quad\longrightarrow\quad$

Th.2'　区間

$0 \leqq x \leqq \ell$ で定義されている、区分的になめらかな関数

$f(x)$ は、フーリエ係数

$\dps{b_n = \frac{2}{\ell}\int_{0}^{\ell}f(x)\sin\left(\frac{n\pi x}{\ell}\right)dx}$ (

$n \geqq 1$ ) を用いて

$\dps{f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin\left(\frac{n\pi x}{\ell}\right)}$ (

$0 \leqq x \leqq \ell$ ,

$x$ は連続点 ) と表される。これを

$f(x)$ のフーリエ正弦級数 ( フーリエ正弦展開 ) と呼ぶ。

※　区間

$0 \leqq x \leqq \ell$ で定義されている関数を 強引に周期 $2\ell$ に拡張します ので、

$-\ell \lt x \lt 0$ での値の決め方には無限の自由度があり、 同じ関数でも $\cos$ だけで書いたり $\sin$ だけで書いたりできる、ということになります。

補題

　もうひとつ補題を述べます。

Lemma 3　

$k$ を定数とし、2 階微分方程式

$\left\{ \begin{array}{l} y''(x)+k\,y(x)=0 \quad (\ 0 \leqq x \leqq \ell\ ) \\ y(0)=y(\ell)=0 \\ \end{array} \right. \tag{6.11}$ を考える。このとき、

$(6.11)$ が $y \equiv 0$ 以外の解を持つこと $\Leftrightarrow$ $k \gt 0$ かつ　 $\exists$ 自然数 $n$ such that $\dps{\sqrt{k}=\frac{n\pi}{\ell}}$
(1) のとき、 $(6.11)$ の一般解は $\dps{y(x)=A\sin\left(\frac{n\pi x}{\ell}\right)}$

証明　第4回 Th.2 より

$y''+k\,y=0$ の一般解は

$k \gt 0$ のとき $y=A\sin(\lambda x) + B\cos(\lambda x)$ , $\lambda=\sqrt{k}$
$k \lt 0$ のとき $y=Ae^{\lambda x} + Be^{\lambda x}$ , $\lambda=\sqrt{-k}$
$k = 0$ のとき $y=Ax+B$

です。このうち

$y \not \equiv 0$ で境界条件

$y(0)=y(\ell)=0$ を満たし得るのは i の

$y=A\sin(\lambda x) + 0 \cos(\lambda x)$ かつ

$\sin(\lambda\ell)=0$ のときのみで、第2式から

$\dps{\sqrt{k}=\lambda=\frac{n\pi}{\ell}}$ ,

$\exists$ 自然数

$n$ となります。(証明終)

※　(6.11) の微分方程式は、例えば、

長さ $\ell$ の区間に、両端を固定された弦が張られていて、
座標 $x$ での変位 $y=y(x)$ が、 $y$ に比例した加速度　 $y''=-ky$ で運動している状態

を表しています。

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