応用数学 第5回 (1) 問題設定と復習

問題設定

 今日は一般の2階線形微分方程式 $$ y'' + P(x) \, y' + Q(x) \, y = R(x) \tag{7.2} $$ を扱います。ここで $P(x)$, $Q(x)$, $R(x)$ は与えられた関数です。

復習

 右辺を $0$ とした $$ y'' + P(x) \, y' + Q(x) \, y = 0 \tag{7.3} $$ を $(7.2)$ の補助方程式と言いました。このとき次が成り立ちます:
$(7.2)$ の一般解 $y$ は、ひとつの特殊解 $y_0$ と、補助方程式 $(7.3)$ の一般解 $Y$ の和である:
$y=y_0 + Y$
補助方程式 $(7.3)$ の解たちは 2 次元のベクトル空間を成す
従って
$(7.2)$ の一般解 $y$ を求めることは次の二つの作業に分けられる:
  1. 特殊解 $y_0$ をひとつ求めることと、
  2. 補助方程式 $(7.3)$ の一次独立な2つの解をみつけること
 前回と違って $P(x)$, $Q(x)$ が関数なので「確実な解法」はありませんが、 それでもなんとか解ける場合をいくつか勉強します。