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応用数学 第13回 (1) ラプラス変換の基本法則 その1

ラプラス変換の基本法則 その1 ( 教科書 p.49 の 表 II 前半 )

 以下、L(f)=F, L(g)=G と表します。
Th.1 (1)  線形法則
定数 a, b に対し  L(af+bg)=aF+bG.
  1. 相似法則
    L(f(λt))=1λF(sλ)  ( λ>0 ).
  2. 第1移動法則
    L(U(tλ)f(tλ))=eλsF(s)  ( λ>0 ).
    ただし U(t) はヘヴィサイドの単位関数で、
    U(tλ)f(tλ)={f(tλ) if  t>λ0 if  0t<λ.
  3. 第2移動法則
    L(f(t+λ))=eλs{F(s)λ0estf(t)dt}   ( λ>0 ).
  4. 像の移動法則
    L(eμtf(t))=F(sμ).
証明 (1)  積分の線形性より。

(2)

L(f(λt))=0f(λt)estdt=0f(u)esu/λ1λdu( u=λt )=1λ0f(u)e(s/λ)udu=1λF(sλ).

(3)

L(U(tλ)f(tλ))=λf(tλ)estdt=0f(u)es(u+λ)du( u=tλ )=eλs0f(u)esudu=eλsF(s).

(4)

L(f(t+λ))=0f(t+λ)estdt=λf(u)es(uλ)du( u=t+λ )=eλs{0f(u)esuduλ0f(u)esudu}=eλs{F(s)λ0estf(t)dt}.

(5)

L(eμtf(t))=0f(t)eμtstdt=0f(t)e(sμ)tdt=F(sμ).

(証明終)

Ex.2 L(cos(t+λ))=
 (4) と表I,10 より L(cos(t+λ))=eλs{L(cos(t))λ0estcos(t)dt}=eλs{ss2+1[1s2+1est(sin(t)scos(t))]λ0}=eλs{ss2+11s2+1eλs(sin(λ)scos(λ))ss2+1}=1s2+1(cos(λ)ssin(λ)). 別解 (1) と表I,9-10 より L(cos(t+λ))=L(cos(t)cos(λ)sin(t)sin(λ))=cos(λ)L(cos(t))sin(λ)L(sin(t))=cos(λ)ss2+1sin(λ)1s2+1=1s2+1(cos(λ)ssin(λ)) こちらの方が簡単でしたね。