応用数学 第13回 (1) ラプラス変換の基本法則 その1
ラプラス変換の基本法則 その1 ( 教科書 p.49 の 表 II 前半 )
以下、L(f)=F, L(g)=G と表します。 証明 (1) 積分の線形性より。(2)
L(f(λt))=∫∞0f(λt)e−stdt=∫∞0f(u)e−su/λ1λdu( u=λt )=1λ∫∞0f(u)e−(s/λ)udu=1λF(sλ).
(3)
L(U(t−λ)f(t−λ))=∫∞λf(t−λ)e−stdt=∫∞0f(u)e−s(u+λ)du( u=t−λ )=e−λs∫∞0f(u)e−sudu=e−λsF(s).
(4)
L(f(t+λ))=∫∞0f(t+λ)e−stdt=∫∞λf(u)e−s(u−λ)du( u=t+λ )=eλs{∫∞0f(u)e−sudu−∫λ0f(u)e−sudu}=eλs{F(s)−∫λ0e−stf(t)dt}.
(5)
L(eμtf(t))=∫∞0f(t)eμt−stdt=∫∞0f(t)e−(s−μ)tdt=F(s−μ).
(証明終)例
解 (4) と表I,10 より L(cos(t+λ))=eλs{L(cos(t))−∫λ0e−stcos(t)dt}=eλs{ss2+1−[1s2+1e−st(sin(t)−scos(t))]λ0}=eλs{ss2+1−1s2+1e−λs(sin(λ)−scos(λ))−ss2+1}=1s2+1(cos(λ)s−sin(λ)). 別解 (1) と表I,9-10 より L(cos(t+λ))=L(cos(t)cos(λ)−sin(t)sin(λ))=cos(λ)L(cos(t))−sin(λ)L(sin(t))=cos(λ)ss2+1−sin(λ)1s2+1=1s2+1(cos(λ)s−sin(λ)) こちらの方が簡単でしたね。