応用数学 第12回 (2) ヘヴィサイドの単位関数
$\newcommand{\LT}{\mathscr{L}}$
ヘヴィサイドの単位関数
Def.3 次の階段関数をヘヴィサイドの単位関数と呼ぶ:
$\dps{
U(t)=
\left\{
\begin{array}{ll}
0 & t \lt 0 \\
\frac{1}{2} & t = 0 \\
1 & t \gt 0 \\
\end{array}
\right.
}\qquad\qquad$
この $U(t)$ を用いて、$\lambda \geqq 0$ に対して
$f(t)=U(t-\lambda)\qquad\qquad$
とおくと
\begin{align}
\LT(f)(s)
& = \int_0^{\infty} U(t-\lambda) e^{-st} dt \\
& = \int_{\lambda}^{\infty} e^{-st} dt \\
& = \left[\frac{1}{-s}e^{-st}\right]_{\lambda}^{\infty}
=\dps{\frac{1}{s}e^{-\lambda s}} \quad \mbox{ if }\ s \gt 0
\end{align}