応用数学（塩田）2021年度

応用数学第9回 (3)　基本定理

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フーリエ展開

　ここでは

$f(x)$ は周期

$2\pi$ を持つ関数とします。

Def.5　

$f(x)$ のフーリエ展開とは、次式のように

$f(x)$ を三角関数の無限和で表すこと：

$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\Big\{a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\Big\} \tag{$\sharp$}$

右辺の形を「フーリエ級数」と呼び、また

$a_n$ ,

$b_n$ を「

$f(x)$ のフーリエ係数」と呼びます。

Th.6　

$f(x)$ も

$f'(x)$ も微分可能であれば

$f(x)$ はフーリエ展開可能であり、その係数

$a_n$ ,

$b_n$ は次式で与えられる：

$\left\{ \begin{array}{ll} \dps{a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)dx} & \forall n \geqq 0 \\ \dps{b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)dx} & \forall n \geqq 1 \\ \end{array} \right. \tag{$\star$}$

$\newcommand{\ip}[2]{\langle\,#1,#2\,\rangle}$ ルーズな証明　

$(\sharp)$ が成り立てば Th.4 より

$\begin{align} \ip{f}{1} &= \ip{\frac{a_0}{2}\times 1}{1}=a_0\pi \\ \ip{f}{\cos(nx)} &= \ip{a_n\cos(nx)}{\cos(nx)}=a_n\pi \\ \ip{f}{\sin(nx)} &= \ip{b_n\sin(nx)}{\sin(nx)}=b_n\pi \\ \end{align}$ 本当に

$=$ になることは難しいので省略します。(証明終)

区分的になめらか

　Th.6 が成り立つ条件はもう少し緩められます。

Def.7　

$f(x)$ が「区分的になめらか」とは、

１周期を有限個の小区間に分けることができて、
各小区間の内部では、 $f(x)$ は微分可能で、 $f'(x)$ も連続関数になり、
小区間のつなぎ目でも左右両極限が存在して有限な値である

こと。

ただし

左極限とは $\dps{f(x-0)=\lim_{t\, \uparrow\, 0}f(x+t)}$
右極限とは $\dps{f(x+0)=\lim_{t\, \downarrow\, 0}f(x+t)}$

です。絵で描くとこんな感じです：

Th.8　

$f(x)$ が区分的になめらかであれば

$f(x)$ の連続点ではフーリエ展開可能であり、 $(\sharp)$ が成立する。
$f(x)$ の不連続点では $(\sharp)$ の右辺 $\dps{=\frac{1}{2}\Big(f(x-0)+f(x+0)\Big)}$ が成立する。

１ページ目の「ピックで弦を弾いた瞬間」は区分的になめらかですので、正弦波の無限和で書けることになります。

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