応用数学（塩田）2021年度

応用数学第7回 (3)　特殊解の求め方： $R(x)$ が指数関数の場合

$R(x)$ が指数関数の場合

Th.7　(1)　

$f(\alpha) \neq 0$ ならば

$\qquad\dps{f(D)^{-1}\,e^{\alpha x}=\frac{1}{f(\alpha)}e^{\alpha x}}$

$f(\alpha) = 0$ のときは、 $\alpha$ を $f(X)$ の $p$ 重根とし、 $f(X)=(X-\alpha)^p\, g(X)$ と分解すれば $\dps{f(D)^{-1}\,e^{\alpha x}=\frac{1}{g(\alpha)}\frac{1}{p!}x^pe^{\alpha x}}$

証明　(1) は第6回の Th.6 (1) より。 (2) は第6回の Th.11 (4) より

$\begin{align} f(D)^{-1}\,e^{\alpha x} &=(D-\alpha)^{-p}g(D)^{-1}e^{\alpha x}\\ &=(D-\alpha)^{-p}\frac{1}{g(\alpha)}e^{\alpha x}\\ &=\frac{1}{g(\alpha)}e^{\alpha x}\underbrace{\int\cdots\int}_{p \mbox{ times}} e^{-\alpha x}e^{\alpha x}dx\cdots dx =\frac{1}{g(\alpha)}e^{\alpha x}\frac{1}{p!}x^p. \\ \end{align}$ (証明終)

※　第4回 (4) の Technique はこの (2) を使っています。

例題

Ex.8　

$(D^3-5D+5)\,y=e^{2x}$

Th.7 (1) を使います。

$f(X)$ ,

$\alpha$ が何になるかまず考えてください。
解を見る

解　

$f(X)=X^3-5X+5$ ,

$\alpha=2$ の場合で、

$f(2)=3\neq 0$ ゆえ

$\dps{y=f(D)^{-1}e^{2x}=\frac{1}{f(2)}e^{2x}=\frac{1}{3}e^{2x}}$ .

Ex.9　

$(D+1)^2(D^2+D+1)\,y=e^{-x}$

今度は Th.7 (2) を使います。

$f(X)$ ,

$\alpha$ ,

$p$ ,

$g(X)$ が何になるかまず考えてください。
解を見る

解　

$\alpha=-1$ が

$f(X)=(X+1)^2(X^2+X+1)$ の 2 重根、

$p=2$ ,

$g(X)=X^2+X+1$ の場合で、

$\dps{f(D)^{-1}\,e^{-x}=\frac{1}{g(-1)}\frac{1}{2!}x^2e^{-x}=\frac{1}{2}x^2e^{-x}}$ .

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