応用数学 第7回 (1) 前回の復習
前回の復習
前回から
定数係数の $n$ 階線形微分方程式
$$
a_0\, y^{(n)} + a_1\, y^{(n-1)} + \cdots + a_n\, y = R(x)
\tag{10.1}
$$
を扱っていました。
微分演算子 $\dps{D=\left(\frac{d}{dx}\right)}$ と、多項式
$f(X) = a_0\, X^n + a_1\, X^{n-1} + \cdots + a_n$
を用いると $(10.1)$ はカンタンに
$f(D)\,y=R(x)$
と表すことができ、次が成り立ちます：
- $(10.1)$ の一般解 $y$ は、ひとつの特殊解 $y_0$ と、補助方程式 $f(D)\,y=0$ の一般解 $Y$ の和である：
$y=y_0 + Y$
- 補助方程式の一般解は特性方程式 $f(X)=0$ を解くことで簡単に求められる。
そこで、$f(D)$ や $f(D)^{-1}$ の公式をたくさん作りました。
今日は特殊解 $y_0$ の求め方を勉強します。