応用数学（塩田）2021年度

応用数学第6回 (2)　微分演算子 $D$

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微分演算子 $D$

Def.1　

$x$ の関数

$y=y(x)$ に 左から作用して

$y'=y'(x)$ を返す演算子を

$D$ と表す：

$D\,y=y'$

Rem.2　

$\dps{y' = \frac{dy}{dx} = \left(\frac{d}{dx}\right)y}$ ですから $\dps{D=\left(\frac{d}{dx}\right)}$ と書いても良いのですが、簡単に $D$ ひと文字で書くことが役に立ちます。
微分するのは $D$ の右にある 関数です。
$z\,D\,y$ のような書き方をするときは $z \times y'$ を表し、左側の $z$ は「 $z$ 倍」を表します。

Def.3　多項式

$f(X)=a_0\,X^n + a_1\, X^{n-1} + \cdots + a_n$ があるとき、関数

$y$ に 左から作用する 演算子

$f(D)$ を

$f(D)\,y=a_0\, y^{(n)} + a_1\, y^{(n-1)} + \cdots + a_n\, y$ となるものと定める。

$\dps{D^ny=\left(\frac{d}{dx}\right)^n \! y=\left(\frac{d^n y}{dx^n}\right)=y^{(n)}}$ と考えて、

$\begin{align} f(D)\,y &=(a_0\,D^n + a_1\, D^{n-1} + \cdots + a_n)\,y \\ &=a_0\,D^ny + a_1\, D^{n-1}y + \cdots + a_n\,y \\ &=a_0\, y^{(n)} + a_1\, y^{(n-1)} + \cdots + a_n\, y \\ \end{align}$ と定めよう、ということです。

※　この記号を用いると、 $a_0\, y^{(n)} + a_1\, y^{(n-1)} + \cdots + a_n\, y = R(x) \tag{10.1}$ は簡単に $f(D)\,y=R(x)$ と書き表すことができます。

やりたいこと　は

補助方程式 $f(D)\,y=0$ の解の公式を作ること
逆演算子 $f(D)^{-1}$ の公式を作って $f(D)\,y=R(x)$ の特殊解 $y=f(D)^{-1}R(x)$ をひとつ作ること

です。今日は (1) と、

$f(D)^{-1}$ の公式を作るところまでをやります。

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