応用数学 第5回 (5) 特殊解:補助方程式の解がわかっている場合

補助方程式の解がわかっている場合

 前回の Th.7 は、 教科書では定数係数の節に書いてありますが、 証明をよく読むと定数係数でなくても成り立つことがわかります:
Th.5  $y_1$, $y_2$ を補助方程式 $(7.3)$ の一次独立な 2 つの解とすると、
$\dps{y_0=-y_1\int\frac{y_2R}{W}dx + y_2\int\frac{y_1R}{W}dx}$
は $(7.2)$ の特殊解である。

Ex.4 再掲 $\dps{y''+\frac{3}{x}y'-\frac{3}{x^2}y = 5}$
 Ex.1 より、補助方程式の一次独立な 2 つの解として $y_1=x^{-3}$, $y_2=x$ が取れました。
$\dps{W=W(y_1, y_2)= \left|\, \begin{array}{cc} x^{-3} & x \\ -3x^{-4} & 1 \\ \end{array} \,\right| = 4x^{-3} }$
よって \begin{align} y_0 &=-y_1\int\frac{y_2R}{W}dx + y_2\int\frac{y_1R}{W}dx \\ &=-x^{-3}\int\frac{5x}{4x^{-3}}dx + x\int\frac{5x^{-3}}{4x^{-3}}dx \\ &=-x^{-3}\int\frac{5}{4}x^4dx + x\int\frac{5}{4}dx \\ &=-x^{-3}\left(\frac{1}{4}x^5\right) + x\left(\frac{5}{4}x\right) =x^2\\ \end{align} となります。

やってみよう

Ex.6 ( 問 7.3 (1) ) $\dps{y''+\frac{3}{x}y'+\frac{1}{x^2}y = \frac{1}{x^4}}$