補助方程式の解

補助方程式の解  $\dps{y''+\frac{3}{x}y'+\frac{1}{x^2}y =0}$ の解を $y_1=u=x^m$ の形で探してみます。 左辺 $=m(m-1)x^{m-2}+3mx^{m-2}+x^{m-2}=(m^2+2m+1)x^{m-1}$ ゆえ、$\dps{y_1=u=\frac{1}{x}}$ がみつかりました。Th.2 を適用すると $\dps{\int P\,dx=\int \frac{3}{x}\,dx=3\log x}$ から $\dps{y_2 =u \times \int e^{-\int P\,dx}\frac{1}{u^2}dx =\frac{1}{x} \times \int \frac{1}{x^3}x^2dx = \frac{1}{x}\log x }$.

特殊解

特殊解  $\dps{W=W(y_1, y_2) =\left|\, \begin{array}{cc} x^{-1} & x^{-1}\log x \\ -x^{-2} & -x^{-2}\log x + x^{-2} \\ \end{array} \,\right| =\left|\, \begin{array}{cc} x^{-1} & 0 \\ -x^{-2} & x^{-2} \\ \end{array} \,\right| = x^{-3} }$ ゆえ、Th.5 を適用すると $\require{cancel}$ $$\begin{align} y_0 &=-y_1\int\frac{y_2R}{W}dx + y_2\int\frac{y_1R}{W}dx \\ &=-x^{-1}\int\frac{x^{-1}(\log x)x^{-4}}{x^{-3}}dx + x^{-1}(\log x)\int\frac{x^{-1}x^{-4}}{x^{-3}}dx \\ &=-x^{-1}\int\frac{(\log x)}{x^{2}}dx + x^{-1}(\log x)\int\frac{1}{x^{2}}dx \\ &=-x^{-1}\left(\cancel{-x^{-1}(\log x)} - x^{-1}\right)+\cancel{x^{-1}(\log x)\left(-\frac{1}{x}\right)} = x^{-2} \\ \end{align}$$ 以上から一般解は $\dps{y=\frac{1}{x^2}+A\frac{1}{x}+B\frac{\log x}{x}}$ となります。

※　特殊解は、当て推量で $cx^m$ の形の解を探してもみつかりますが、ここでは定理を使いました。