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完全微分形に帰着するテクニック

　$P=3xy+2y^3$, $Q=xy^2-x^2$ とすると $\dps{\frac{\partial P}{\partial y}=3x+6y^2}$,   $\dps{\frac{\partial Q}{\partial x}=y^2-2x}$ ですから、Th.8 により、このままでは完全形ではありません。 $$\begin{align} \frac{\partial (\lambda P)}{\partial y} &= \frac{\partial}{\partial y}\left(3x^{m+1}y^{n+1}+2x^my^{n+3}\right) \\ &= 3(n+1)x^{m+1}y^n+2(n+3)x^my^{n+2}, \\ \end{align}$$ $$\begin{align} \frac{\partial (\lambda Q)}{\partial x} &= \frac{\partial}{\partial x}\left(x^{m+1}y^{n+2}-x^{m+2}y^n\right) \\ &= (m+1)x^{m}y^{n+2}-(m+2)x^{m+1}y^{n} \\ \end{align}$$ これらが等しくなるためには $\left\{ \begin{array}{l} \require{cancel}\xcancel{(n+1)=-(m+2)} \\ 3(n+1)=-(m+2) \\ 2(n+3)=m+1 \\ \end{array} \right.$ であればよく、解くと $m=1$,  $n=-2$ となります。従って $\dps{\lambda=\frac{x}{y^2}}$ が積分因数になり、$(1)$ に $\lambda$ を掛けた式が完全微分形になるので Cor.9 が適用できます。 $\require{cancel}$ $$\begin{align} g = \int (\lambda P)dx &= \int\frac{x}{y^2}(3xy+2y^3)dx \\ &= \int\left(3\frac{x^2}{y}+2xy\right)dx = \frac{x^3}{y}+x^2y \\ \end{align}$$ $$\begin{align} f &=g+\int \left(\lambda Q -\frac{\partial g}{\partial y}\right) dy \\ &=g+\int \left(\frac{x}{y^2}(xy^2-x^2) -\frac{\partial g}{\partial y}\right) dy \\ &=g+\int\left(\cancel{x^2}-\bcancel{\frac{x^3}{y^2}}-\left(-\bcancel{\frac{x^3}{y^2}}+\cancel{x^2}\right)\right)dy = g\\ \end{align}$$ 従って一般解は $\dps{\frac{x^3}{y}+x^2y=C}$ となりました。

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