応用数学 第1回 (5) 同次形微分方程式
同次形微分方程式
同次形と呼ばれる形の微分方程式も変数分離形に変形して解くことができます。
Def.9 1変数 $v$ の関数 $f(v)$ を用いて
$$
\frac{dy}{dx}=f\left(\frac{y}{x}\right)
\tag{3.1}
$$
と書ける微分方程式を「同次形微分方程式」と呼ぶ。
Ex.10 $\dps{\frac{dy}{dx}=\frac{x^2+y^2}{2xy}}$ は、分母分子を $x^2$ で割ると
$\dps{\frac{dy}{dx}=\frac{1+\left(\frac{y}{x}\right)^2}{2\left(\frac{y}{x}\right)}}$
となり $\dps{f(v)=\frac{1+v^2}{2v}}$ の場合である。
- $\dps{\frac{dy}{dx}}$ が $x$ と $y$ の分数式で、分母分子が同じ次数の斉次式なら Ex.10 のように同次形になります。
- 教科書では Ex.10 を、分母を払って
$(x^2+y^2)\,dx - 2xy\,dy=0$
と書いています。このような書き方にも慣れましょう。
Th.11 $\dps{\frac{y}{x}=v}$ とおくと $(3.1)$ は $x$ と $v$ の変数分離形微分方程式
$\dps{\frac{dv}{dx}=\frac{1}{x}\left(f(v)-v\right)}$
になる。
証明 $y=xv$ より
$\dps{f(v)=\frac{dy}{dx}=v + x\frac{dv}{dx}}$
ゆえ。(証明終)
Ex.10 の続き
$\dps{f(v)-v=\frac{1+v^2-2v^2}{2v}=\frac{1-v^2}{2v}}$
∴ $\dps{\int\frac{2v}{1-v^2}dv=\int\frac{1}{x}dx=\log x + C}$
左辺は
$\dps{\int\frac{2v}{1-v^2}dv=-\log(1-v^2)}$
ゆえ
$\log x + \log(1-v^2) = -C$
$\dps{x \left(1-\left(\frac{y}{x}\right)^2\right) = A}$ ( $A=e^{-C}$ )
$x^2-y^2 = Ax$.
本当は絶対値を付けて
$\log |\,x\,| + \log|\,1-v^2\,| = -C$
$\dps{x\left(1-\left(\frac{y}{x}\right)^2\right) = \pm e^{-C}}$
と書くべきでしょうが、$A=\pm e^{-C}$ とおけば $\pm$ も表現できるのでルーズに書く習慣のようです。