応用数学 第1回 (2) 方程式の常識

数の方程式

 まず、方程式について次の「常識」をもっておいてください:
Th. 数の連立方程式において
  • $m=$ 未知数の個数
  • $n=$ 独立な式の個数
とすると、フツーは
  1. $m \lt n$ のときは、条件が多すぎて解が存在しない
  2. $m=n$ のときは、解は有限個存在する
  3. $m \gt n$ のときは、$m-n$ 個の任意定数を含む一般解が存在する
 ここで「独立でない」というのは、
$\left\{ \begin{array}{ll} {\small (1)} & x + y + z = 3 \\ {\small (2)} & x + 2y + 3z = 6 \\ {\small (3)} & 2x + 3 y + 4z = 9 \\ \end{array} \right.$
のように他の式から導かれる式が混ざっている状態 ( この場合 $(1)+(2)=(3)$ ) のことです。
 また、
$\left\{ \begin{array}{l} x^2 + y^2 = 1 \\ x = 2 \\ \end{array} \right.$
などは実数の世界では解がありませんが、複素数の世界ではちゃんと2つの解があります。 これは複素数が代数学用語で言う「代数閉体」だからで、 「フツー」というのは「代数閉体で考える」と、という意味で ... ま、しかし細かいことを言いだすときりがありませんので、 そんなもんだと思っていてください。

常微分方程式

  • 一変数の関数の微分しか出てこない微分方程式を「常微分方程式」と言います。 (2変数以上の関数の偏微分が絡む方程式は偏微分方程式と言います。)
  • 微分方程式に何階微分までが出てくるかを、その「階数」と言います。 例えば
    • $(y')^2 = y$ は1階常微分方程式
    • $\dps{\frac{\partial ^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 f}{\partial y^2} = 0}$ は 2階偏微分方程式
    です。
Th. $n$ 階常微分方程式の一般解はフツー $n$ 個の任意定数を含み、 初期条件(時刻 $t=0$ での値など)を与えることによりそれらの任意定数が決まる。
 $n$ 階微分が出てくるということは、 $n$ 回積分をしないと解けない、 ということですので、 一般解には積分定数が $n$ 個入ることになります。
Ex. $(y')^2 = y$ の一般解は、任意定数 $C$ を用いて $\dps{y=\left(\frac{x}{2}+C\right)^2}$ と書けます。 これに初期条件
$y(0)=1$
を与えると $C=\pm 1$ となり、
$\dps{y=\left(\frac{x}{2}+1\right)^2}$ または $\dps{y=\left(\frac{x}{2}-1\right)^2}$
という解が得られます。
Def. 
  • 一般解の任意定数に具体的な値が入った解を「特殊解」と呼ぶ。
  • 一般解の形に当てはまらない解を「特異解」と呼ぶ。
Ex. 
  • $\dps{y=\left(\frac{x}{2}+1\right)^2}$ は $(y')^2 = y$ の特殊解です。
  • $y=0$ は $(y')^2 = y$ を満たしますが、 $\dps{y=\left(\frac{x}{2}+C\right)^2}$ の形には当てはまりませんので「特異解」ということになります。
 用語が紛らわしいのですが、「形が異なる」方が「特異解」と覚えれば多少は覚え易いかもしれません。