アルゴリズム論特論（塩田）2024年度

アルゴリズム論特論（塩田）第5回 (3)　九去法

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九去法

$\bmod 9$ の法演算を応用した検算法を紹介しましょう。

Ex.8　

$367 \times 52 = 19084$ の検算をしてみましょう。

$\newcommand{\add}{\textcolor{blue}{\boldsymbol{\longrightarrow}}}$

$\newcommand{\delnine}{\textcolor{red}{\boldsymbol{\longrightarrow}}}$

被乗数、乗数、答えのそれぞれの各桁の数字を足します。
その数を $9$ で割った余りを求めます
( $9$ を超えたら $9$ を引く = 九を取り去る、という naming です ) $\require{color}$

被乗数 $\quad 367 \add 3+6+7 = (\textcolor{red}{3+6})+7 \delnine 7$

乗数　 $\quad 52 \add 5+2=7$

答え　 $\quad 19084 \add 1+9+0+8+4=(\textcolor{red}{1+8})+\textcolor{red}{9}+4 \delnine 4$
「被乗数から得られた $7$ 」と「乗数から得られた $7$ 」を掛けた $7 \times 7$ でまた同じことをします。

$7 \times 7 = 49 \add 4 + \textcolor{red}{9} \delnine 4$

「答えから得られた $4$ 」と一致したので一安心します。

原理　

$\bmod 9$ では

$\textcolor{blue}{10 \equiv 1}$ ,

$\textcolor{red}{9 \equiv 0}$ なので、

$\begin{eqnarray*} 367 &=& 3 \times \textcolor{blue}{10}^2 + 6 \times \textcolor{blue}{10} + 7 \\ &\equiv& 3 \times \textcolor{blue}{1}^2 + 6 \times \textcolor{blue}{1} + 7 \\ &\equiv& 3+6+7 = (\textcolor{red}{3+6})+7 \equiv 7 \pmod{9},\\ 52 &=& 5 \times \textcolor{blue}{10} + 2 \\ &\equiv& 5 \times \textcolor{blue}{1} + 2 \equiv 7 \pmod{9},\\ 19084 &=& 1 \times \textcolor{blue}{10}^4 + 9 \times \textcolor{blue}{10}^3 + 8 \times \textcolor{blue}{10} + 4 \\ &\equiv& 3 \times \textcolor{blue}{1}^4 + 9 \times \textcolor{blue}{1}^3 + 8 \times \textcolor{blue}{1} + 4 \\ &\equiv& 1 + 9 + 8 + 4 = (\textcolor{red}{1+8}) + \textcolor{red}{9} + 4 \equiv 4 \pmod{9}\\ \end{eqnarray*}$ という計算ができ、

$367 \times 52\equiv 7 \times 7 \equiv 4 \equiv$ 答え

$\pmod{9}$ のはず、ということです。
　計算間違えは繰り上がりなどで

$1$ とか

$2$ とかずれていることが多いので、電卓のない時代にはこの方法が結構重宝したらしいです。

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