アルゴリズム論特論（塩田）第5回 (3)　九去法
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九去法

　$\bmod 9$ の法演算を応用した検算法を紹介しましょう。
Ex.8　$367 \times 52 = 19084$ の検算をしてみましょう。 $\newcommand{\add}{\textcolor{blue}{\boldsymbol{\longrightarrow}}}$ $\newcommand{\delnine}{\textcolor{red}{\boldsymbol{\longrightarrow}}}$
  • 被乗数、乗数、答えのそれぞれの 各桁の数字を足します。
  • その数を $9$ で割った余りを求めます
    ( $9$ を超えたら $9$ を引く = 九を取り去る、という naming です ) $\require{color}$
    被乗数$\quad 367 \add 3+6+7 = (\textcolor{red}{3+6})+7 \delnine 7$
    乗数　$\quad 52 \add 5+2=7$
    答え　$\quad 19084 \add 1+9+0+8+4=(\textcolor{red}{1+8})+\textcolor{red}{9}+4 \delnine 4$
  • 「 被乗数から得られた $7$ 」と「 乗数から得られた $7$ 」を掛けた $7 \times 7$ でまた同じことをします。
    • $7 \times 7 = 49 \add 4 + \textcolor{red}{9} \delnine 4$
  • 「 答えから得られた $4$ 」と一致したので一安心します。
原理　$\bmod 9$ では $\textcolor{blue}{10 \equiv 1}$, $\textcolor{red}{9 \equiv 0}$ なので、 \begin{eqnarray*} 367 &=& 3 \times \textcolor{blue}{10}^2 + 6 \times \textcolor{blue}{10} + 7 \\ &\equiv& 3 \times \textcolor{blue}{1}^2 + 6 \times \textcolor{blue}{1} + 7 \\ &\equiv& 3+6+7 = (\textcolor{red}{3+6})+7 \equiv 7 \pmod{9},\\ 52 &=& 5 \times \textcolor{blue}{10} + 2 \\ &\equiv& 5 \times \textcolor{blue}{1} + 2 \equiv 7 \pmod{9},\\ 19084 &=& 1 \times \textcolor{blue}{10}^4 + 9 \times \textcolor{blue}{10}^3 + 8 \times \textcolor{blue}{10} + 4 \\ &\equiv& 3 \times \textcolor{blue}{1}^4 + 9 \times \textcolor{blue}{1}^3 + 8 \times \textcolor{blue}{1} + 4 \\ &\equiv& 1 + 9 + 8 + 4 = (\textcolor{red}{1+8}) + \textcolor{red}{9} + 4 \equiv 4 \pmod{9}\\ \end{eqnarray*} という計算ができ、
$367 \times 52\equiv 7 \times 7 \equiv 4 \equiv$ 答え $\pmod{9}$
のはず、ということです。
　計算間違えは繰り上がりなどで $1$ とか $2$ とかずれていることが多いので、 電卓のない時代にはこの方法が結構重宝したらしいです。

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